Sonli ifoda sonlardan tuzilib, amallar belgilari bilan birlashtirilgan yozuv ekanligini eslatib o‘tamiz

a sondan b sonni ayirish uchun a songa b songa qaramaqarshi bo‘lgan sonni qo‘shish kifoya:


Amallarning xossalaridan foydalanish algebraik ifodani avval soddalashtirib, so‘ngra uning qiymatini oson yo‘l bilan hisoblash imkonini beradi.



1 . Algebraik yig‘indi. 1- masala. Yigirma qavatli binoda lift ishlamoqda. U 8- qavatdan 6 qavat pastga tushdi, so‘ngra 12 qavat yuqoriga ko‘tarildi, 4 qavat pastga tushdi, 7 qavat yuqoriga ko‘tarildi, 13 qavat pastga tushdi. Lift qaysi qavatda turibdi?
Agar algebraik ifodaga qavs ichiga olingan algebraik yig‘indi qo‘shiladigan bo‘lsa, u holda shu algebraik yig‘indidagi har bir qo‘shiluvchining ishorasini saqlagan holda qavslarni tushirib qoldirish mumkin
Agar algebraik ifodadan qavs ichiga olingan algebraik yig‘indi ayirilsa, u holda shu algebraik yig‘indidagi har bir qo‘shiluvchining ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirib, qavslarni tushirib qoldirish mumkin.

Ushbu masalani yechaylik. Masala. Qalam va chizg‘ich birgalikda 370 so‘m turadi. Qalam chizg‘ichdan 90 so‘m arzon. Chizg‘ichning bahosini toping. Aytaylik, chizg‘ich x so‘m tursin, u holda qalam (x - 90) so‘m turadi. Masalaning shartiga ko‘ra

Harf bilan belgilangan noma’lum son qatnashgan tenglik tenglama deyiladi. Tenglik belgisidan chap va o‘ngda turgan ifodalar tenglamaning chap va o‘ng qismlari deyiladi. Tenglamaning chap yoki o‘ng qismidagi har bir qo‘shiluvchi tenglamaning hadi deyiladi.

Tenglamaning ildizi deb, noma’lumning shu tenglamani to‘g‘ri tenglikka aylantiradigan qiymatiga aytiladi.

Al-Xorazmiyning „Kitob al-muxtasar fi hisob al-jabr valmuqobala“ asaridagi al-jabr musbat hadlarni tiklash, ya’ni manfiy hadlarni tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga musbat qilib o‘tkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala qismidan teng hadlarni tashlab yuborishni bildirgan. Bu bir noma’lumli tenglamalarni yechish to‘g‘ri tengliklarning sizlarga ma’lum xossalariga asoslangan ekanini ko‘rsatadi. Shu xossalarni eslatib o‘tamiz. Birinchi xossadan qo‘shiluvchilarni, ularning ishoralarini qarama-qarshisiga almashtirib, tenglikning bir qismidan ikkinchi qismiga olib o‘tish mumkinligi kelib chiqadi. Aytaylik, a = + b m bo‘lsin, u holda a +(-m) = b + m +(-m); . a - = m b Tengliklarning bu xossalari tenglamalarni yechishda qanday qo‘llanishini ko‘raylik. 1- masala . 9x x -23 = - 5 11 tenglamani yeching. x son berilgan tenglamaning ildizi, ya’ni x shunday sonki, uni tenglamaga qo‘yilganda tenglama to‘g‘ri tenglikka aylanadi, deb faraz qilamiz. 7- 1. Agar to‘g‘ri tenglikning ikkala qismiga bir xil son qo‘shilsa yoki ikkala qismidan bir xil son ayrilsa, u holda yana to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi. 2. Agar to‘g‘ri tenglikning ikkala qismi nolga teng bo‘lmagan ayni bir songa ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, u holda yana to‘g‘ri tenglik hosil bo‘ladi. Agar a=b bo‘lib, l ixtiyoriy son bo‘lsa, u holda a + l =b+ l, a - l = = b - l bo‘ladi. Agar a=b bo‘lib, m ¹ 0 bo‘lsa, u holda a·m=b · m va a : m = = b : m bo‘ladi. 7 = 7 7+2 = 7+2 7 - 2=7 - 2 27 = 27 27 · 3 = 27·3 27 : 3 = 27 : 3 Xossaning so‘z bilan ifodalanishi Xossaning umumiy ko‘rinishda yozilishi Misol

1. 
   xossa. Tenglamaning istalgan hadi ishorasini qaramaqarshisiga o‘zgartirib, uning bir qismidan ikkinchi qismiga o‘tkazish mumkin.
   

2 - xossa. Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo‘lmagan bir xil songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin
qismiga, noma’lum qatnashmagan hadlarni esa o‘ng qismiga o‘tkazish lozim (1- xossa); 2) o‘xshash hadlarni ixchamlash kerak; 3) tenglamaning ikkala qismini noma’lum oldida turgan koeffitsiyentga (agar u nolga teng bo‘lmasa) bo‘lish (2- xossa) kerak.

Ko‘rib chiqilgan misollarda har bir tenglama bitta ildizga ega bo‘ldi. Ammo ba’zi hollarda bir noma’lumli tenglama ildizlarga ega bo‘lmasligi mumkin yoki cheksiz ko‘p ildizga ega bo‘lishi mumkin. Shunday tenglamalarga misollar keltiramiz.

Tenglamalarni qo‘llash ko‘pgina masalalarni yechishni osonlashtiradi. Bunda masalani yechish, odatda, ikki bosqichdan iborat bo‘ladi: 1) masalaning sharti bo‘yicha tenglama tuzish; 2) hosil bo‘lgan tenglamani yechish. Ushbu masalani yechaylik. Masala. Sayyohlar tushgan kema sohildagi bekatdan daryo oqimi bo‘yicha jo‘nab, 5 soatdan keyin qaytib kelishi kerak. Daryo oqimining tezligi 3 km/soat; kemaning turg‘un suvdagi tezligi 18 km/soat. Agar sayyohlar qaytishdan oldin qirg‘oqda 3 soat dam olgan bo‘lsalar, ular sohildagi bekatdan qancha masofaga suzib borganlar?

Masalani yechishning birinchi bosqichida (ya’ni tenglama tuzishda) kema bilan daryo oqimi tezliklari oqim bo‘yicha harakatda qo‘shilishi, oqimga qarshi harakatda esa ayirilishi va yo‘lning tezlikka nisbati harakat vaqti ekanligini bilish zarur bo‘ldi. Ikkinchi bosqichda (ya’ni hosil bo‘lgan tenglamani yechishda) tenglamalarning bundan oldingi paragrafda o‘rganilgan xossalarini qo‘llash talab etildi. Matnli masala mazmuniga mos tenglama tuzish – masala shartini „matematika tili“ ga o‘tkazish – masalaning matematik modelini tuzish demakdir. Bitta masalani hal qilish uchun turli tenglama, turli matematik model tuzish mumkin.

Teng sonlarni qo‘shishni ko‘paytirish bilan almashtirish mumkin: