Sonli va harfli ifodalarni yechish va soddalashtirish

2. Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning asosiy xossalari
Yaqinlashuvchi sonli qatorlarning quyidagi asosiy xossalarini keltiramiz:
1⁰. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda istalgan chekli sonlardagi hadlarni tashlab yuborish yoki unga chekli sondagi hadlarni qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi sonli qatorning har bir hadi, bir xil soniga ko‘paytirilsa, u holda yig‘indi soniga ko‘paytiriladi; ya’ni

3⁰. Agar va qatorlar yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indilari mos ravishda A va B ga teng bo‘lsa, u holda sonli yig‘indisi ham yaqinlashuvchi bo‘lib, yig‘indisi A B ga teng.
4⁰. (Yaqinlashuvchanlikning zaruriy alomati)
Agar sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning umumiy hadi uchun shart bajariladi. Lekin bu alomat yetarli alomat bo‘la olmaydi.
Agar bo‘lsa, u holda berilgan sonli qator uzoqla-shuvchi bo‘ladi.
Misollar.

1. 
   ushbu sonli qator uzoqlashuvchidir, chunki
   

2) quyidagi

sonli qator uzoqlashuvchi qator bo‘ladi, chunki

mavjud emas.
Musbat hadli sonli qatorlar uchun quyidagi yaqinlashish va uzoqlashish alomatlarini keltiramiz.
1) Taqqoslash alomati. Musbat hadli ikkita
a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = (3)

b₁ + b₂ + ... + b_n + ... = (4)

sonli qator uchun, biror N nomerdan boshlab a_n b_n tengsizlik bajarilsa, u holda:
a) (4) qatorning yaqinlashishidan (3) qatorning ham yaqinlashishi;
(3) qatorning uzoqlashishidan (4) qatorning ham uzoqlashishi kelib chiqadi.
b) (3) va (4) sonli qatorlarning umumiy hadlari uchun mavjud va 0 < k < + bo‘lsa, u holda (3) va (4) sonli qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Misol. qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Berilgan qatorni uzoqlashuvchi garmonik qator bilan taqqoslaymiz. Buning uchun va k ekanligini topamiz. Bundan berilgan qator uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
2) Koshi alomati. Agar musbat hadli (3) qator uchun
mavjud bo‘lsa, bu qator k < 1 bo‘lganda yaqinlashadi, k > 1 da esa uzoqlashadi, k = 1 da qatorning yaqinlashish masalasi ochiq qoladi.
Misol. Ushbu sonli qatorni Koshi alomati yordamida yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Koshi alomatiga ko‘ra,

Demak, k < 1 bo‘lgani uchun berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
3) Dalamber alomati. Agar musbat hadli (3) qator uchun

mavjud bo‘lsa, u holda bu qator: d < 1 da yaqinlashadi, d > 1 da uzoqlashadi va d = 1 da qatorning yaqinlashish masalasi ochiq qoladi.
Misol. Ushbu sonli qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Dalamber alomatiga ko‘ra,



bo‘lgani uchun berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
4) Koshining integral alomati. Agar (3) sonli qatorning hadlari musbat va o‘smaydigan bo‘lib, x 1 bo‘lganda aniqlangan, uzluksiz, musbat va o‘smaydigan funksiya uchun tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda

1- tur xosmas integral yaqinlashsa, berilgan qator ham yaqinlashadi, xosmas integral uzoqlashsa, sonli qator ham uzoqlashadi.
Umumlashgan garmonik qator ushbu alomat yordamida tekshiriladi.
Misol. Ushbu sonli qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki funksiya bo‘lganda musbat, uzluksiz va o‘smaydi hamda uning uchun quyidagi 1- tur xosmas integral

bo‘ladi.