Sonli va harfli ifodalarni yechish va soddalashtirish

4. Sonli qatorlarning absolut va shartli yaqinlashishi
O’zgaruvchi ishorali sonli qator

u₁ + u₂ + ... + u_n + ... (5)

berilgan bo‘lsin. (5) sonli qator hadlarining absolut qiymatlaridan yangi sonli qator

(6)
tuzamiz.
Agar (6) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (5) sonli qator absolut yaqinlashuvchi qator deyiladi.
Agar (6) qator uzoqlashuvchi bo‘lib, (5) qatorning o‘zi yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (5) sonli qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi. Absolut yaqinlashuvchi sonli qator hamma vaqt yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Ushbu
c₁ - c₂ + c₃ - c₄ + ... (-1)^n-1c_n + ... (7)
sonli qatorga ishoralari almashinuvi qator deb ataladi. Bunday qatorlarni tekshirish uchun Leybnis teoremasidan foydalaniladi.
Leybnis teoremasi. Agar ishoralari almashinuvchi (7) qatorning hadlari uchun:

1. 
   c₁ > c₂ > c₃ > ...
   
2. 
   
   

o‘rinli bo‘lsa, berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi musbat bo‘lib, birinchi haddan katta bo‘lmaydi.
Ishorasi almashinuvchi qator qoldigi tengsizlik bilan baholanadi.
Misol. Ushbu

sonli qatorning yaqinlashuvchanligini tekshiring.

Yechish. Leybnis teoremasi shartlarining yuqorida berilgan ishorasi almashinuvchi qator uchun bajarilishini ko‘ramiz, ya’ni

va ^.

Demak, qator yaqinlashuvchi bo‘lar ekan. Absolut va shartli yaqin-lashuvchi qatorlarning xossalari:
1. Absolut yaqinlashuvchi qatorda o‘rinlarini almashtirishdan tuzilgan yangi qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va yig‘indisi berilgan qator yig‘indisi bilan bir xil bo‘ladi.
2. Shartli yaqinlashuvchi qatorda, b soni ixtiyoriy son bo‘lishdan qat’i nazar, hadlar o‘rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada olin-gan yangi sonli qator yig‘indisi b ga teng bo‘ladi.
3. Shartli yaqinlashuvchi sonli qatorda hadlar o‘rnini shunday almashtirish mumkinki, natijada uzoqlashuvchi yangi qator olinadi.