Sonli va harfli ifodalarni yechish va soddalashtirish

. Limitlar haqida asosiy teoremalar.
Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina hol uchun o’tkaziladi ( da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, ni ham, ni ham yozmaymiz.
1-teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. , bo’lsin. U holda tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.
Demak, bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+β-cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak ekanligi kelib chiqadi.
1-misol. .
2-misol. .
2-teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni
_.
Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, . Bu tenglikdagi ab-o’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak ekanligi kelib chiqadi.

. Ikkinchi ajoyib limit.

Ushbu sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda n-natural son.

8-teorema. Umumiy hadi bo’lgan ketma-ketlik da 2 bilan 3 orasida yotadigan limitga ega.
Isboti. Nyuton binomi formulasi

dan foydalanib ketma-ketlikni va hadlarini qo’yidagi ko’rinishda yozamiz:
(4)
.
bilan ni taqqoslasak, had haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini ko’ramiz.
bo’lgani uchun uchinchi haddan boshlab dagi har bir qo’shiluvchi dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun > va umumiy hadi bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.
Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan k=1,2,3,… uchun ekanini hisobga olib (4) formuladan
<
tengsizlikni hosil qilamiz.
So’ngra
ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni
<
ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= bo’lgan geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi ga asosan <
tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi.
Demak, barcha n uchun o’rinli, ya‘ni umumiy hadi bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketma-ketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni

a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = (1)

ifodaga sonli qator deyiladi. Bu yerda a₁, a₂, ... , a_n, ... haqiqiy sonlar bo‘lib, qatorning hadlari, a_n – had qatorning n - hadi yoki umumiy hadi deb ataladi. Har bir (1) sonli qator uchun
S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n , n = 1, 2, 3, ...
qismiy yig‘indilar S_n qurish mumkin.
Misol. Ushbu

sonli qator uchun qismiy yig‘indilar:




bo‘ladi.
Agar (1) qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi chekli limit S ga ega bo‘lsa, bu songa qatorning yig‘indisi deb ataladi:
(2)
Agar (2) chekli limitga ega bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi, S - uning yig‘indisi deyiladi.
Misol. Yuqorida keltirilgan misol uchun:

Demak, berilgan sonli qator chekli limitga ega ekan. Qator yaqinlashuvchi.
Agar bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, qator uzoqlashuvchi deb ataladi.
r_n = S - S_n songa qatorning qoldig‘i deyiladi. Yaqinlashuvchi sonli qator uchun bo‘ladi va demak yetarlicha katta n lar uchun S S_n o‘rinli bo‘ladi.
Misollar:
1) Ushbu geometrik progressiyaning hadlaridan tuzilgan sonli qator bo‘lsa yaqinlashuvchi, yig‘indisi bo‘ladi, bo‘lsa, uzoqlashuvchidir;
2)  sonli qator garmonik qator deyiladi va u uzoqlashuvchi qatordir.
3) Umumlashgan garmonik qator deb,

sonli qatorga aytiladi va bu sonli qator p  1 da uzoqlashuvchi, p > 1 da yaqinlashuvchidir.