Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari

1-misol. Uch gurux oilalar bilan olib borilgan savol- javoblar natijasida ularning daromadi va oziq – ovqatlari uchun xarajati orasidagi bog’lanish bo’lsin, deylik:

Oziq – ovqatlari uchun xarajatlar, y ming so’m	0,9	1,2	1,8
Oila daromadi, x ming so’m	1,2	3,1	5,3

Shu ma’lumotlar bo’yicha 6 ta savolga javob beramiz. Xisob – kitoblarni osonlashtirish uchun avval 2- jadvalni to’ldiramiz.

2- jadval

1	2	3	4	5	6	7	8	9
	x	y	yx	x^2	y^2		y-	A1, %
1	1,2	0,9	1,08	1,44	0,81	0,88	0,02	2,2
2	3,1	1,2	3,72	9,61	1,44	1,28	0,08	6,7
3	5,3	1,8	9,54	28,09	3,24	1,74	0,06	3,33
Jami	9,6	3,9	14,34	39,14	5,49	3,90	0	12,23
O’rtacha qiymati	3,2	1,3	4,75	13,05	1,83	1,30	0	4,08
	1,62	0,37	-	-	-	-	-	-
	2,81	0,14	-	-	-	-	-	-

1. 
   2 – jadvalning 2-6 – ustunlarini to’ldiramiz.
   

Endi b₀ va a₀ larni topamiz

.
Juftlik chiziqli regressiya tenglamasini yozamiz

Shu tenglamadan foydalanib, jadvalning 7- ustunini to’ldirish mumkin:
0,63+0,21x1,2=0,63+0,21=0,88;
0,63+0,21x3,1=0,63+0,65=1,28;
0,63+0,21x5,3=0,63+1,11=1,74.
8 – ustun ayirmadan tuzilgan
0,98-0,88=0,1; 1,2-1,28=-0,08; 1,8-1,74=0,06.
Endi 9 – ustunni to’ldirish qoldi.



Shunday qilib bu miqdor 8,10% dan kam bo’lgani uchun qurilgan model yaxshi deb baxolanadi.
Endi va miqdorlarini xisoblaymiz:


Yuqoridagi xisob kitoblar yordamida 2- jadval to’ldiriladi.
Endi juftlik chiziqli regressiya tenglamasining sifatini baholashga o’tish mumkin. Regressiya tenglamasiga ko’ra jon boshiga minimal xarajat 1 so’mga ortsa, o’rtacha kundalik maosh o’rtacha 0,21 so’mga ortadi.

Ko‘p o‘lchovli statistik tahlil usullari

Ko‘p sondagi korrelatsiyalangan miqdorlardan, yangi oz sondagi korrelatsiyalanmagan miqdorlarga o‘tish ko‘p o‘lchovli statistik tahlilning mohiyatini tashkil qiladi.
Iqtisodiy ko‘rsatkichlarning o‘zgarishini belgilovchi va iqtisodiy obyektlarni tasniflashni o‘rganuvchi “ yashirin” faktorlarni aniqlash va ularni tahlil qilish ko‘p o‘lchovli statistik tahlilni asosiy masalalaridir.
Iqtisodiy ko‘rsatkichlar o‘zgarishini belgilovchi omillar to‘plami komponentalari orasida stoxastik bog‘lanishlar bo‘lgan ko‘p o‘lchovli vektor sifatida hamda “yashirin” faktorlar esa markazlashtirilgan va korrelatsiyalanmagan t.m.lar deb qaraladi. Mana shunday “yashirin” faktorlarni aniqlash faktorli tahlilning, xususan, bosh komponentalar usulining asosiy masalalarini tashkil qiladi.
Iqtisodiy obyektlarni tasniflashda ko‘p o‘lchovli tanlanma iqtisodiy omillar qiymatlaridan tuziladi. Har bir ko‘p o‘lchovli tanlanma – ko‘p o‘lchovli t.m.ning amalga olingan qiymatlaridan iborat bo‘lib, u o‘rganilayotgan iqtisodiy ob’ektni tavsiflashga, sinflarga ajratishga xizmat qiladi. Shu maqsad yo‘lida ko‘p o‘lchovli t.m.ning taqsimot funksiyasi haqida oldindan ma’lumotga ega bo‘lish muhimdir. Agar mana shunday ma’lumot bo‘lmasa, sinflarga ajratish ularni tashkil qiluvchi obyektlar “yaqinligi” asosida amalga oshiriladi; bunda bir sinfdagi obyektlar “yaqin”, turli sinfdagilari esa bir – birlaridan “uzoq” da bo‘ladilar. Obyektlar orasidagi “yaqinlik” ni belgilovchi masofa turlicha aniqlanishi mumkin, xususan, n o‘lchovli Yevklid fazosidagi masofa deb ham aniqlanishi mumkin.
Endi faktorli tahlil usuliga o‘taylik. Quyidagi holatni o‘rganaylik. Aniq bir shaxsga yakka holda kiyim tikish lozim. Buning uchun shu yakka shaxsni qaddi – qomatini tavsiflaydigan bir nechta ma’lumotlar yig‘iladi. Shu kiyim sanoat korxonasida ishlab chiqilsa faqat uchta o‘zaro bog‘liq ma’lumotlarga asoslanadi xolos: o‘lcham, bo‘y va to‘lalik. Bu holat faktorli tahlilning asosiy masalasini to‘liq namoyish qiladi: boshlang‘ich ko‘p sondagi o‘zaro bog‘langan F₁, …, F_k, k<t “yashirin” omillarga o‘tish masalasi.
Iqtisodiyotda shu turdagi masalalar ko‘plab uchraydi. Masalan, ishlab chiqarish manbalaridan samarali foydalanish uchun bir necha umumlashtiruvchi ko‘rsatkichlarni topish zarurati tug‘iladi.
Faktorli tahlil modeli quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
, i = 1, 2, …, m, k < m (1)
Bu yerda , F_j , j = 1, 2, …, k – umumiy (“yashirin”) faktorlar;
- boshlang‘ich ko‘rsatkichlarning umumiy faktorlariga ta’sir koeffitsentlari;
, - maxsus faktorlar ;
- ko‘rsatkichlarning maxsus faktorlarga ta’siri.
Umumiy va maxsus faktorlar markazlashtirilgan ( , ), normallangan ( , ) va korrelyatsiyalanmagan ( , , ) deb faraz qilamiz.
Faktorli tahlilning (1) modeli matritsalar yordamida quyidagicha yoziladi
, (2)
bu yerda , - boshlang‘ich ko‘rsatkichlar va ularning matematik kutilmalaridan tuzilgan vektor ustun.
, - umumiy va maxsus faktorlar vektor ustuni.
, -
umumiy va maxsus faktorlar ta’sir koeffitsientlari matritsalari.
(2) ga asosan X ko‘p o‘lchovli ko‘rsatkich uchta korrelatsiyalanmagan tarkibiy qo‘shiluvchilardan iborat ekan:
1) - tasodifiy bo‘lmagan tarkibiy bo‘lak (matematik kutilma);
2) umumiy faktorlar aniqlaydigan AF – tasodifiy tarkibiy bo‘lak;
3) maxsus faktorlar aniqlaydigan V_ε tasodifiy tarkibiy bo‘lak.
Faktorli tahlilning (2) modelini amalga oshirish (qo‘llash) uchun hech bo‘lmaganda uning birinchi ikki tarkibiy qoshiluvchilarini statistik ma’lumotlar asosida statistik baholash lozim. Bulardan, birinchisi matematik kutilma ni tanlanmaning o‘rta qiymati ga, ikkinchi qo‘shiluvchini ularning statistik baholariga, ya’ni umumiy faktorlar ta’sir koeffitsientlari bahosi va umumiy faktorlar bahosiga almashtirish kerak.
Yuqoridagi masalalarni yechish uchun bir necha usullar mavjud. Ana shulardan biri – bosh komponentalar usulidir.
Bosh komponentalar usuli
Bosh komponentalar usulu (ingl. Principal component analysis, PCA) — olingan ma’lumotlarni eng kam informatsiya yo‘qotgan holda o‘lchovini pasaytirishning asosiy usullaridan biri hisoblanadi. U K. Pirson tomonidan 1901 yilda taklif etilgan bo‘lib, ko‘pgina amaliy masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bosh komponentalarni hisoblash boshlang‘ich ma’lumotdan tuzilgan kovariatsion matrisaning xos son va xos vectorlarni hisoblashga keltiriladi.
Bosh komponentalar usuli butun to‘lig‘icha umumiy ko‘rsatkichlarga asoslanib hulosa chiqaradi. Bu usulda ham faktorlar markazlashtirilgan, normallangan va korrelatsiyalanmagandir.
O’rganilayotgan X ko’rsatkichlar sistemasining birinchi bosh komponentasi Y₁(X) ushbu ko’rshatkichlardan tuzilgan normallashgan, markazlashtirilgan shunday chiziqli kombinatsiyasiki, u qolgan barcha shunday chiziqli kombinatsiyalar orasida eng katta dispersiyaga ega bo‘lishi kerak.
O’rganilayotgan X ko’rsatkichlar sistemasining k-bosh komponentasi Y₁(X) ushbu ko’rshatkichlardan tuzilgan normallashgan, markazlashtirilgan shunday chiziqli kombinatsiyasiki, u oldingi k-1 bosh komponentalar bilan korrelyatsiyalanmagan va qolgan barcha normallashgan, markazlashtirilgan va korrelyatsiyalanmagan oldingi k-1 chiziqli kombinatsiyalar orasida eng katta dispersiyaga egadir.
Uning mohiyati quyidagicha. Ushbu
(3)
yoki matritsa ko‘rinishida yozib oladigan bo‘lsak,

ifodani ko‘raylik. Markazlashtirilgan boshlang‘ich ko‘rsatkichlarni , deb belgilaylik. U holda (3) munosabatni (2) bilan solishtirish natijasida quyidagicha yozishimiz mumkin:
, (4)


A – faktorlar ta’siri koeffitsienti matritsasini aniqlash maqsadida boshlang‘ich ko‘rsatkichlar kovariatsiyasi matritsasining xos sonlarini va xos vektorlarini l bilan belgilaylik:
.
Eslatib o‘tish joizki, xos sonlar quyidagi tenglamadan topiladi:
yoki . (5)
Bu yerda E_m – birlik matritsa. (5) bir jinsli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun bosh determinanti nol bo‘lishi kerak
(6)
(6) tenglama λ ga nisbatan m ta tenglamalardan iborat bo‘lib, B – matritsaning xos sonlaridan iborat bo‘lgan yechimlarga ega.
Turli xos sonlarga mos keluvchi xos vektorlar ortogonal, shuning uchun

matritsa normallangan xos vektorlardan tuzilgan bo‘lganligi uchun ham ortogonal matritsadir. Ortogonal matritsa koordinatalar o‘qini burishni anglatadi.
Shuning uchun, markazlashtirilgan boshlang‘ich ko‘rsatkichlarni ortogonal matritsa yordamida chiziqli almashtirish koordinatalar o‘qini burishni anglatadi:
, (7)
Hosil bo‘lgan yangi ko‘rsatkichlar korrelatsiyalanmagan bo‘ladi. Haqiqatan ham, (7) ga asosan ko‘rsatkichlar markazlashtirilgan bo‘lgani uchun

.
Demak,
, , .
Ortogonal almashtirish masofani saqlaydi, shu sababli
.
Demak, boshlang‘ich ko‘rsatkichlarni barcha dispersiyasi normallashmagan bosh komponentalar dispersiyasiga tengdir:
. (8)
Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, boshlang‘ich ko‘rsatkichlarning barcha dispersiyasi xos sonlar yig‘indisiga teng ekan. Bosh komponentalar usulida xos sonlar tartiblanadi .
Amaliyotda katta xos sonlarga mos keluvchi bir necha bosh komponentalar bilan ish ko‘riladi. Bunga asos bo‘lib (8) tenglik xizmat qiladi, ya’ni boshlang‘ich ko‘rsatkichlarning dispersiyasi shu xos sonlar yig‘indisiga juda yaqin bo‘ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. G`ofurov M., Xolmurodov M., Xusanov Q. Iqtisodiy-matematik usullar va modellar. Toshkent 2000.
10. Shodiev T. va boshqalar. Iqtisodiy-matematik usullar va modellar. O'quv qo'llanma. -T.: O'RYAJN, 2005.
2. Zamkov O.O. Matematicheskie metodi v ekonomike.Uchebnik. -M.: DIS, 2004.M. Izd-vo, "AVG", 1995.
3. Gmurman V.Е., Ehtimollar nazariyasi va matеmatik statistika.-T.:
INTERNETDAN FOYDALANILGAN SAYTLAR
1. www.college.ru 2. www.mathnet.ru 3. www.referat.ru 4. www.uff.uz
5. www.pedagog.uz 6.www.laliga.com 7.www. edu.uz 8. www.ziyonet.uz