Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

1.Dəyişəni əvəzetmə üsulu.

Inteqrallama üsulları .

Bu üsulda dəyişən yeni bir dəyişənlə əvəz olunur. Bu yeni dəyişənə görə alınan inteqralaltı funksiyası asan hesablanır.

x  t

_ f (x)dx  F (x)  c

diferensiallanan funksiya olarsa , onda

dx  ^tdt

(1)

(2)

olar. Buna görədə (2)- ni və (1)-də nəzərə alsaq onda

_ f xdx  _ f t 

^t dt

(3)

bərabərliyi alınır. Buna dəyişənin əvəzetmə düsturu deyilir.

2. Hissə- hissə inteqrallama düsturu.

Tutaq ki, u və v kəmiyyətləri x-in diferensiallana bilən funksiyalarıdır. Onda ,uv hasilinin diferensialı

duv  udv  vdu

düsturu ilə hesablanır. Buradan inteqrallamaqla

uv  _ udv  _ vdu

yaxud
_ udv  uv  _ vdu

alırıq. Axırıncı düstura hissə-hissə inteqrallama düsturu deyilir.

Müəyyən inteqral.

Tərif.ƒ(x) funksiyası ücün [a,b] parçasında düzəldilmiş

f (_k )x_k

inteqral cəminin λ(T)→0 şərtində

sonlu J limiti varsa , onda f(x) funksiyasına [a,b] parçasında inteqrallanan funksiya, J ədədinə isə onun [a,b] parçasında müəyyən inteqralı deyilir və

b

ilə işarə edilir.

b

  

_ f xdx

a

^{n 1 } ^ 

_ f x dx

lim

_ f _k x_k

_a ^{T   0} k  1

Burada f(x) funksiyası inteqralaltı funksiya , a və b ədədləri müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədləri, x dəyişəni isə inteqrallama dəyişəni adlanır.

Müəyyən inteqralın əsas xassələrı.

Xassə 1. Sabit vuruğu müəyyən inteqralın işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.

Xassə 2. Sonlu sayda inteqralı

b

_ A a

1
f x…, f_m x

b

f (x) dx A_ f x dx

a
funksiyalarının cəminin müəyyən

toplananların müəyyən inteqrallarının cəminə bərabərdir.

b_{ n}

 ^

 ^m f x dx

k
  <sup>

a</sup>k1

f x _ dx





k
k1

Xassə 3. İstənilən c nöqtəsi üçün

b



a

c f x dx  _

a
b f x dx  _

c

f (x) dx

bərabərliyi doğrudur.

b

Xassə 4.

a  x  b

parçasında

f (x)  0

olarsa, onda _ ^{f (x)dx  0} .

a

Xassə 5.

a  x  b

parçasında kəsilməyən istənilən

f (x)

funksiyası üçün

bərabərsizliyi doğrudur.

b b

_ f (x)dx  _

a a
f (x)dx

Xassə 6. [a,b] parçasında inteqrallanan _ƒ(x) və φ(x) funksiyalarının hasili

də

həmin parçada inteqrallanandır.

Nyuton-Leybnis düsturu.
Müəyyən inteqral bəhsində qeyd etdik ki, verilmiş funksiyanın müəyyən inteqralı həmin funksiya üçün düzəldilmlş ∫ cəminin limitidir. Lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu üsulla müəyyən inteqralı hesablamaq əlverişli üsul deyildir. Çünki bu üsuldan istifadə etdikdə mürəkkəb cəminin limitini tapmaq lazım gəlir. Bu da cox vaxt mümkün olmur və ya müəyyən texnikİ cətinliklərlə bağlı olur. Bu səbəbdən də

müəyyən inteqralın hesablanması üçün əlverişli olan Nyuton – Leybnis düsturunu öyrənmək lazım gəlir.

Teorem. ^a,b

funksiyasıdırsa , onda

parçasında kəsilməyən
ƒ(x)
funksiyasıının ibtidai funksiyalarından biri Ф (x)

b

_ f x dx  b  a

a
(1)

düsturu doğrudur. (1) Düsturuna Nyuton – Leybnis düsturu deyilir.
Hissə - hissə inteqrallama.

Tutaq ki, u və v kəmiyyətləri x-in diferensiallana bilən funksiyalarıdır. Onda

uv^  u^v  uv^

eyniliyin hər iki tərəfini^a,b

parçasında inteqrallayaq ;

  
^bu v^ dx  ^bu^vdx  ^buv^ dx

(1)

Burada

_uv^dx
 uv  c

a a a

olduğundan


bu v^ dx  uv ^b

_a a

ona görə (1) bərabərliyini

b _b b

_udv  uv _a  _v du

a a

Kimi yazmaq olar.
Dəyişəni əvəzetmə üsulu.

Teorem . Tutaq ki, 1) _f(x) funksiyası [a,] parçasında kəsilməyəndir ;

2. 
   x=φ(t) funksiyası və onun φ´(t) törəməsi _[α,β] parcasında kəsilməyəndir ;
   
3. 
   _[α,β] parcasında a=φ(α)≤φ(t)≤φ(β)=b (1) münasibəti ödənilir. Onda
   

b

_ f x dx 

a



_ f t ^t  dt

bərabərliyi doğrudur.Bu düstura müəyyən inteqralda dəyişəni əvəzetmə düsturu deyilir.

Müəyyən inteqralın tətbiqi ilə müstəvi fiqurlarının sahələrinin, fırlanma cisimlərinin həcminin və cismin getdiyi yolun tapılması.

1. 
   Paralel kəsiyin məlum sahəsinə görə cismin həcminin hesablanması. Əgər müstəvi OX
   

^{oxuna perpendikulyar olarsa, onda cismin müstəvi ilə kəsiyinin sahəsi} x ^{dəyişəninin funksiyası olar, yəni}

^{s  s(x)} , a  x  b . Onda cismin OX oxuna perpendikulyar olan qalan hissəsinin həcmi aşağıdakı düsturla hesablanır:

x  a ^və

x  b müstəviləri aralarında

b

V  _ S(x)dx ^.

a

2. 
   Fırlanmadan alınan cismin həcminin hesablanması.
   

y  f (x)

əyrisi, OX oxu və

x  a ^,

x  b

düz xətləri ilə məhdud olan əyrixətli trapesiya OX oxu ətrafında fırlanırsa, fırlanmadan alınan

cismin həcmi
b


x
V  _ y² dx

a

düsturu ilə hesablanır.

5. 
   Fır lan mad an alın an səth in sah əsi. Tutaq ki,
   

y  f (x)

müstəvi əyrisinin OX oxu

ətrafında fırlanmasından alınan səth verilmişdir. Bu səthin

a  x  b parçasında uyğun hissəsinin sahəsi

b

S_x  2_ y

a

1  ( y^)² dx

düsturu ilə hesablanır.

Müəyyən inteqralın tətbiqləri

1. 
   Müstəvi fiqurunun sahəsinin hesablanması
   

𝑎
Tutaq ki, f(x)[a, b] parçasında kəsilməyən və mənfi olmayan (f(x)≥0) funksiyadır. Onda müəyyən inteqralın həndəsi mənasına görə əyrixətli trapesin sahəsi üçün

bərabərliyini yazmaq olar.

^S=∫^{𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥}

(1)

Əgər [a, b] parçasında kəsilməyən f(x) funksiyası müsbət deyilsə, onda


𝑎
∫^{𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 0}

x Olar. Bu inteqralın mütləq qiyməti yuxarıdan [a, b] parçası, aşağıdan y=f(x) əyrisi, yanlardan isə x=a və x=b düz xətləri ilə əhatə olunmuş trapesin sahəsinə bərabər olar:

𝑎
^S=|∫^{𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥|. (2) y}
a b

x

y= f(x)

Əgər [a, b] parçasında kəsilməyən f(x) funksiyası işarəsini sabit saxlamırsa, onda

𝑎
∫^{𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥}

müəyyən inteqralı ox oxunda yerləşən əyrixətli trapesiyaların sahələrinin cəbri

cəminə bərabər olar. Ox oxundan yuxarıda yerləşən trapesiyaların sahələri cəmə müsbət işarə ilə, aşağıda yerləşənlərinki isə mənfi işarə ilə daxil olar.

0 a b

Əgər [a, b] parçasında kəsilməyən y=𝜓⁽𝑥⁾, 𝑦 = 𝜑(𝑥) funksiyaları 𝜓⁽𝑥⁾ ≤ 𝜑(𝑥)

münasibətini ödəyərsə, onda aşkardır ki, onların əmələ gətirdiyi fiqurun sahəsi

𝑎
^S=|∫^𝑏

𝜓⁽𝑥⁾ − 𝜑(𝑥)| 𝑑𝑥

düsturu ilə hesablanar. y

x

0

Verilmiş əyrixətli trapesiyanı əhatə edən y= f(x) (x≥0) əyrisi parametrik şəkildə verildikdə də onun sahəsini hesablamaq olar. Tutaq ki, y= f(x) (a≤x≤b) funksiyası

_{ y = 𝜓⁽𝑡⁾
, (𝛼 ≤t≤ 𝛽)

𝑦 = 𝜑(𝑡)
parametrik şəkildə verilmişdir. Burada 𝑥 = 𝜑(𝑡) funksiyası monotondur, [𝛼, 𝛽 ]parçasında kəsilməyən törəməsi vardır və 𝜑⁽𝛼⁾ = 𝑎, 𝜑⁽𝛽⁾ = 𝑏 bərabərliklərini ödəyir. Onda (3) inteqralında 𝑥 = 𝜑⁽𝑡⁾, 𝑑𝑥 = 𝜑^′(t)dt əvəzləməsini aparsaq və y=f(x)=f(^[𝜑⁽𝑡^)] = 𝜓⁽𝑡⁾ olduğunu nəzərə alsaq,

^S=∫^{𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =} ∫^{𝛽 𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑′(t)dt =} ∫^{𝛽 𝜓(𝑡)𝜑′(t)dt}
(4)

𝑎 𝛼 𝛼
olar.

2.