Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

Matris .Matrisin tərifi. Matirslər üzərində əməllər

Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldilmiş, m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (mxn)-ölçülü matris deyilir. Matrisi aşağıdakı kimi yazılır:

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
_‖ ^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛 _{‖ (1)}

^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛

və ya


^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
₍ ^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛 _).

^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛


^{Bəzən qisa olmaq üçün matirisi böyük hərflərlə (A,B,C,X,Y,...) və ya} ‖^𝑎𝑖𝑗‖

(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) şəklində işarə edirlər.

Matrisi təşkil edən 𝑎_𝑖𝑗 ədədlərinə matrisin elementləri deyilir.Elementin aşağısında yazılan iki indeksin birincisi yeni i onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini,ikincisi yəni j isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.

(mxn) –ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər yəni m=n olduqda,ona kvadrat matris deyilir.Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir.

^{Məsələn 𝐴 =} ‖^{3 5}‖ ^{matrisi ikitərtibli matrisdir.}

7 8

0	1	3
^𝐵^=^‖2	4	7^‖^matirisi^isə^üçtərtiblidir.
0	3	4

Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər. Yəni ^‖𝑎₁₁^‖ = 𝑎₁₁.

Ancaq bir sətri olan matrisə sətir matris ,ancaq bir sütunu olan matrisə sütun matris deyilir. Məsələn:

𝐴 = ^‖2, 7, 8, 9^‖, 𝐵 = ^‖𝑎, 𝑏, 𝑐^‖ matrisləri sətir matrislərdir.

0


1
^{𝐶 =} ‖²‖^{, 𝐷 =} 4

𝑎₁

𝑏₁

‖_𝑐1 ‖

𝑑₁

matrisləri isə sütun matrislərdir.

n tərtibli kvadrat matris:

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^A=‖^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}‖ <sup>(2)

𝑎</sup>𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

n tərtibli kvadrat matrisinin yuxarı küncündə olan a₁₁ elementi ilə sağ aşağı küncündə olan a_nn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a₁₁, a₂₂, a₃₃,..., a_nn elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqanalı adlanır.

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
_‖^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛_‖

^𝑎𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

Yalnız baş diaqanalının elementləri sıfırdan fərqli olan kvadrat matrisə diaqanal matris deyilir.

Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqanal matris vahid matris adlanır və I_n ilə işarə olunur.

Birtərtibli vahid matris 𝐼_𝑛 = ^‖1^‖ şəklindədir.


2
^{İkitərtibli vahid matris: 𝐼 =} ‖^{1 0}‖

0 1

1 0 0

^{Üçtərtibli vahid matris:𝐼3 = ‖}0 1 0^{‖ və s.}

0 0 1

Bütün elementləri sıfra bərabər olan kvadrat matrisə sıfır matris deyilir və O ilə işarə olunur. Məsələn:

^{𝑂 =} ‖^{0 0}‖^{-ikitərtibli sıfır matris.}

0 0

0	0	0
^𝑂^=^‖0	0	0^‖^-üçtərtibli^sıfır matris.
0	0	0

Matrisin çevrilməsi.
Verilmiş A matrisinin bütün sətr və sütunlarının yerinin dəyişilməsinə həmin matrisin çevrilməsi və ya transponirə edilməsi deyilir və A^* ilə işarə olunur. Məsələn:

2 4^{‖ ;}
‖^{1 2 0}‖∗ ⁼ ‖1 3 ‖

^{0 2} _‖^∗ _{= ‖}0 5

−3 ^∗

^{‖ ; ‖} 0 ^{‖
= ‖}−3 0 −1^‖.

3 4 7

_{0 7} 5 −7

2 −7 ₋₁

Aydındır ki, ⁽A^∗)∗ = 𝐴 olar.

A=A^* olduqda A matrisinə simmetrik matris deyilir.

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^A=‖^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}‖ <sup>matrisinin simmetrik olması şərtini aij=aji (i,j=1,2,...,n)

𝑎</sup>𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

kimi yazmaq olar.

a_ij=-a_ji olduqda A matrisinə çəpsimmetrik matris deyilir.

Bütün elementləri həqiqi ədədlər olan matrisə həqiqi matris deyilir.

Heç olmasa bir elementi kompleks ədəd olan matrisə isə kompleks matris deyilir.

Eyni ölçülü və bütün uyğun elementləri bərabər olan matrislərə bərabər matrislər deyilir.

Matrislər üzərində əməllər.

^{Eyni (mxn) –ölçülü 𝐴 =} ‖^𝑎𝑖𝑗‖ ^{və 𝐵 =} ‖^𝑏𝑖𝑗‖ ^{(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)} matrislərinin cəmi həmin ölçülü və hədləri

𝑐_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 + 𝑏_𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) (1)

kimi təyin olunan 𝐶 = 𝑐_𝑖𝑗 (𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛) matrisinə deyilir və C=A+B ilə işarə olunur. matrislərin toplanması yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə malikdir, yəni eyniölçülü A, B və C matrisləri üçün

A + B = B + A ,
A ₊ ( B ₊ C ) ₌ ( A ₊ B ) ₊ C
münasibətləri doğrudur. Eyniölçülü A matrisi və O sıfır matrisi üçün həmişə A + O = A münasibəti doğrudur.
Xüsusi halda

_‖^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13_{‖ + ‖}^𝑏₁₁ ^𝑏₁₂ ^𝑏_13‖

^𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23

^𝑏21 ^𝑏22 ^𝑏23

_{= ‖}^𝑎11 ^{+ 𝑏}11 ^𝑎12 ^{+ 𝑏}12 ^𝑎13 ^{+ 𝑏}13_‖

^𝑎21 ^{+ 𝑏}21 ^𝑎22 ^{+ 𝑏}22 ^𝑎23 ^{+ 𝑏}23

İki matrisin hasili:

(mxn) ölçülü A=(a_ij) (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) matrisinin (nxp) ölçülü B=(b_ij)

𝑘=1
(i=1,2,...,n;j=1,2,...p) matrisinə hasili hədləri 𝐶_𝑖𝑗 = <sup>∑𝑛

𝑎</sup>𝑖𝑘 ^𝑏𝑘𝑗

(i=1,2,...,m;j=1,2,...,p) matrisinə deyilir və C=A·B ilə işarə olunur. İstənilən ölçülü iki matrisi vurmaq olmaz. A matrisini o vaxt B matrisinə vurmaq olarki A-nın sütunlarının sayı B-nin sətrlərinin sayına bərabər olsun.

Xüsusi halda:

^{𝐴 = (𝑎11 𝑎12 ) , 𝐵 =} (^{𝑏11 𝑏12 𝑏13}) ^olarsa

^𝑎21 ^𝑎22

^𝑏21 ^𝑏22 ^𝑏23

^{𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑎11 𝑎12 ) ∙} (^{𝑏11 𝑏12 𝑏13}) ⁼

^𝑎21 ^𝑎22

^𝑏21 ^𝑏22 ^𝑏23

_{= (}^𝑎11^𝑏11 ^{+ 𝑎}12^𝑏21 ^𝑎11^𝑏12 ^{+ 𝑎}12^𝑏22 ^𝑎11^𝑏13 ^{+ 𝑎}12^𝑏23 ₎

^𝑎21^𝑏11 ^{+ 𝑎}22^𝑏21 ^𝑎21^𝑏12 ^{+ 𝑎}22^𝑏22 ^𝑎21^𝑏13 ^{+ 𝑎}22^𝑏23

Məsələn: A matrisi (mxn) ölçülü , B matrisi (nxp) ölçülü olduqda A·B matrisi (mxp) ölçülü matris olar.

Misal:

3 2

^{𝐴 =} (

) ^{, 𝐵 = (2 3}

) olarsa A·B hasilini tapın.

4 −1

0 2

1 −1

Həlli:
3 2 _{2 3}
3 ∙ 2 + 2 ∙ 1 3 ∙ 3 + 2 ∙ (−1)

𝐴 ∙ 𝐵 = _{(4 −1)} ( ) = ₍4 ∙ 2 + (−1) ∙ 1 4 ∙ 3 + ⁽−1⁾ ∙ (−1)₎ =

_{0 2} 1 −1

0 ∙ 2 + 2 ∙ 1 0 ∙ 3 + 2 ∙ (−1)

8 7

^{= (}7 13 ⁾

2 −2

Matrislərin hasilinin bir sıra başqa xassələri də vardır. Məsələn, ixtiyari A, B, C matrisləri və həqiqi  ədədi üçün

^{(A)B  A(B)  ( AB)} , ( A ₊ B ) C ₌ AS ₊ BC ,

C ( A ₊ B ) ₌ SA ₊ CB , A ( BC ) = ( AB ) C ,

( AB)^  B^A^

bərabərlikləri doğrudur.

Determinantlar və onların xassələri

𝑎 𝑎
Ikitərtibli 𝐴 = (𝑎¹¹ 𝑎¹² ) matrisinin elementlərindən düzəldilmiş

21 22

𝑎₁₁𝑎₂₂ − 𝑎₁₂𝑎₂₁ fərqinə ikitərtibli determinant və ya verilmiş matrisin determinantı deyilir və D_A, ∆(A), detA, ^|𝐴^| kimi simvollardan biri ilə işarə edilir.

𝑫 = ^{|𝑎11 𝑎12|} = 𝑎 𝑎
− 𝑎 𝑎
(1)

^{𝑨 𝑎}21 ^𝑎22

11 22

12 21

𝑎₁₁, 𝑎₂₂ elementlərinə determinantın baş diaqanal , 𝑎₁₂, 𝑎₂₁ elementlərinə isə yan diaqonal elementləri deyilir. İkitərtibli A matrisinin determinantını hesablamaq üçün baş diaqonal elementlərinin hasilindən yan diaqonal elementlərinin hasilini çıxmaq lazımdır.

^Məsələn: |^{3 5} | ^{= −6 − 10 = −16}

2 −2

^𝑎11 ^Üçtərtibli^A=^‖^𝑎21	^𝑎12 ^𝑎22	^𝑎13 ^𝑎23^‖	matrisinin elementlərindən düzəldilmiş
^𝑎31	^𝑎32	^𝑎33

^𝑎11^𝑎22^𝑎33 ^{+ 𝑎}12^𝑎23^𝑎31 ^{+ 𝑎}21^𝑎32^𝑎13 ^{− 𝑎}13^𝑎22^𝑎31 ^{− 𝑎}12^𝑎21^𝑎33 ^{− 𝑎}11^𝑎23^𝑎32

ifadəsinə üçtərtibli deerminant deyilir və aşağıdakı kimi işarə olunur:

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13

^{𝐷𝐴 = |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23<sup>|.

𝑎</sup>31 ^𝑎32 ^𝑎33

Tərifə əsasən aşağıdakını yaza bilərik:

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13

^𝐷_𝐴 ^{= |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23^{| = 𝑎}₁₁^𝑎₂₂^𝑎₃₃ ^{+ 𝑎}₁₂^𝑎₂₃^𝑎₃₁ ^{+ 𝑎}₂₁^𝑎₃₂^𝑎₁₃ <sup>−

𝑎</sup>31 ^𝑎32 ^𝑎33
^−𝑎13^𝑎22^𝑎31 ^{− 𝑎}12^𝑎21^𝑎33 ^{− 𝑎}11^𝑎23^𝑎32 ^.


(2)

Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki ifadəyə determinantın açılışı və ya qiyməti deyilir.Üçtərtibli determinantın hesablanma qaydasını aşağıdakı sxemdən almaq olar:

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13

^|𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23<sup>|.

𝑎</sup>31 ^𝑎32 ^𝑎33

Bu qayda üçtərtibli determinantları hesablamaq üçün üçbucaq qaydası adlanır. Məslən:

2	−1	0
^|3	1	4^|^=^4 +^0^−^4 −^0 +^16^+^6^=^22.
1	−2	2

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^{Indi isə n tərtibli 𝐴 =} |^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}| <sup>(3) matrisin determinantın

𝑎</sup>𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

hesablayaq.

Determinantın hər hansı elementinin yerləşdiyi sətir və sütun üzərindən düz xəttlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan determinant əmələ gətirir.Bu determinanta kəsişmədə duran uyğun elementin minoru deyilir.a_ij elementinin minoru M_ij ilə işarə olunur. M_ij minorunun (-1)^i+j vuruğu ilə hasilinə a_ij elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və A_ij=(-1)^i+jM_ij ilə işarə olunur.

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13

^{Üçtərtibli |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23<sup>| (4) determinantının a13 və a23 elementlərinin

𝑎</sup>31 ^𝑎32 ^𝑎33

minoru uyğun olaraq 𝑀

⁼ |^{𝑎21 𝑎22}| ^{𝑣ə 𝑀}

_{= |}^𝑎11 ^𝑎12_|.

^{13 𝑎}31 ^𝑎32 ^{23 𝑎}31 ^𝑎32

^{Cəbri tamamlayıcısı isə 𝐴 = (−1)1+3} |^{𝑎21 𝑎22}| ⁼ |^{𝑎21 𝑎22}|

^{13 𝑎}31 ^𝑎32 ^𝑎31 ^𝑎32

^{𝐴 = (−1)2+3} |^{𝑎11 𝑎12}|^=-|^{𝑎11 𝑎12}| <sup>olar.

23 𝑎</sup>31 ^𝑎32 ^𝑎31 ^𝑎32

3. 
   matrisinin birinci sətir elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcıları A₁₁,A₁₂,...A_1n olsun.
   

Tərif.𝑎₁₁𝐴₁₁ + 𝑎₁₂𝐴₁₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝐴_1𝑛 kimi təyin olunan ədədə n tərtibli matrisin n tərtibli determinantı deyilir və aşağıdakı kimi işarə olunur.
^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^{𝑑𝑒𝑡𝐴 =} |^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}| <sup>= 𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝐴1𝑛 (5)

𝑎</sup>𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛