Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

Teorem 4. x nöqtəsində diferensiallanan f(x) və g(x) funksiyalarının nisbəti həmin nöqtədə diferensiallanandır və nisbətin törəməsi aşağıdakı qayda ilə hesablanır:

𝑓(𝑥) <sup>′

[</sup>𝑔(𝑥)^{] =}

𝑓^′(𝑥⁾𝑔⁽𝑥⁾ − 𝑔^′(𝑥⁾𝑓(𝑥) ^[𝑔(𝑥)^]2

Mürəkkəb və tərs törəmələri

Əgər 𝑥 = 𝜑(𝑡) funksiyası t nöqtəsində,y=f(x) funksiyası uyğun x nöqtəsində diferensiallanandırsa,onda 𝑦 = 𝑓^[𝜑(𝑡)^] mürəkkəb funksiyası da t nöqtəsində diferensiallanandır və onun törəməsi aşağıdakı düstur ilə tapılır:

⁽𝑓^[𝜑(𝑡)^])′ = 𝑓^′(𝑥⁾𝜑^′(𝑡)
Tutaq ki, f(x) funksiyası ^[𝑎, 𝑏^] parçasında təyin olunmuş,kəsilməyən, monoton funksiyadır və onun ^[𝑐, 𝑑^] parçasında kəsilməyən 𝑥 = 𝜑(𝑦) tərs funksiyası var və onun törəməsi belədir:

𝜑^′(𝑦₀

⁾ = 1

𝑓^′(𝑥₀)

Elementar funksiyaların törəmələri

𝑎
1. ⁽log 𝑥^)′ = ¹

𝑥𝑙𝑛𝑎
2. ⁽𝑙𝑛𝑥^)′ = ¹

𝑥

3. [𝑒^𝑓(𝑥)]^′ = 𝑒^𝑓(𝑥) ∙ 𝑓^′(𝑥)

4. ⁽𝑒^𝑥)′ = 𝑒^𝑥
5. ⁽𝑥^𝛼)′ = 𝛼𝑥^𝛼−1

6. ^[𝑠𝑖𝑛𝑓(𝑥)^]′ = 𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥) ∙ 𝑓^′(𝑥)

7. ^[𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥)^]′ = −𝑠𝑖𝑛𝑓(𝑥) ∙ 𝑓^′(𝑥)


2
8. ^[𝑡𝑔𝑓(𝑥)^]′ = ^𝑓𝘍^(𝑥)

𝑐𝑜𝑠 𝑓(𝑥)

2
9. ^[𝑐𝑡𝑔𝑓(𝑥)^]′ = − ^𝑓𝘍^(𝑥)

𝑠𝑖𝑛 𝑓(𝑥)

Funksiyanın diferensialı

Tutaq ki, f(x) funksiyasının x nöqtəsində 𝑓^′(𝑥) törəməsi var. Onda törəmənin tərifinə görə

lim_∆𝑥→0 ^∆𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾ 𝑣ə 𝑦𝑎 ^∆𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾ + 𝛼⁽∆𝑥⁾, lim_∆𝑥→0 𝛼⁽∆𝑥⁾ = 0

∆𝑥 ∆𝑥

Buradan alarıq ki, ∆𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾ ∙ ∆𝑥 + 𝛼⁽∆𝑥⁾ ∙ ∆𝑥. Buradan görünür ki, funksiya artımı iki hissədən ibarətdir. Birinci 𝑓^′(𝑥⁾ ∙ ∆𝑥 hissəsinə funksiya artımının baş hissəsi deyilir.

Tərif: Diferensiallanan y=f(x) funksiyasının x nöqtəsində artımının baş hissəsinə onun x nöqtəsində diferensialı deyilir və dy və ya df(x) ilə işarə olunur:

𝑑𝑓⁽𝑥⁾ = 𝑓^′(𝑥⁾∆𝑥 𝑣ə 𝑦𝑎 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾∆𝑥

Funksiyanın diferensialı onun törəməsi ilə arqumentin diferensialı hasilinə bərabərdir:

𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾𝑑𝑥.

Diferensialın təqribi hesablamaya tətbiqi.

lim

𝛼(∆𝑥) ∙ ∆𝑥 = lim

𝛼⁽∆𝑥⁾ = 0

∆𝑥→0

∆𝑥

∆𝑥→0

olduğundan funksiya artımının ikinci hissəsi ∆𝑥 artımına nəzərən daha yüksək tərtibdən sonsuz kiçiləndir. Ona görə də ∆𝑦 = 𝑑𝑦 təqribi bərabərliyini yaza bilərik. Buradan

𝑓⁽𝑥 + ∆𝑥⁾ − 𝑓⁽𝑥⁾ = 𝑓^′(𝑥⁾∆𝑥 𝑣ə 𝑦𝑎 𝑓⁽𝑥 + ∆𝑥⁾ = 𝑓⁽𝑥⁾ + 𝑓^′(𝑥⁾∆𝑥

Bu bərabərlikdən istifadə edərək,bir çox funksiyaların təqribi qiymətlərini hesablamaq üçün sadə düsturlar almaq olar.

Laqranj teoremi

^[𝑎, 𝑏^] parçasında kəsilməyən və (a,b) intervalında diferensiallanan y=f(x) funksiyaı üçün həmin intervalda yerləşən elə c nöqtəsi var ki, bu nöqtədə

𝑓⁽𝑏⁾ − 𝑓⁽𝑎⁾ = ⁽𝑏 − 𝑎⁾𝑓^′(𝑐)

Bu düstur Laqranj düsturu və ya sonlu artımlar düsturu adlanır.

Laqranj teoreminin həndəsi mənası onu göstərir ki, teoremin şərtləri ödənildikə y=f(x) funksiyasının qrafiki olan əyri üzərində elə C nöqtəsi var ki, bu nöqtədə əyriyə çəkilən toxunan AB vətərinə paraleldir.

_1. d ^u ^{ }

x

u ^1du

^2. d^a^{ }  a^

ln a

du _ə

d^e^{ } 

e^ du

d ^loq u^  ^du  loq e  ^du

3. ^a _u

d ^ln u ^  ^du

u

^a u  ln a

4. 
   d^sinu^ 
   

d ^cosu^ 

d ^tgu^ 

cosu.du

• 
  sin u du du
  

cos² u

d ^ctgu^ 

• 
  du
  

sin² u

5. 
   
   du
   d^arcsinu^ 
   

d ^arc tg

u^ 

du

1  u ²

d^arc cosu^   ^du

d ^arc tg

u^ 

• du

1  u ²

Tərif . ^a,b^

Qeyri müəyyən inteqral

parçasının bütün nöqtələrində

F^x 

f x

1. 
   və ya
   

dF(x) 
f (x)dx

2. 
   
   

bərabərliyi ödənilərsə , onda F(x) funksiyasına f(x) funksiyasının ^a,b^

funksiyası deyilir.

parçasında ibtidai

Onda F(x) funksiyası f(x) funksiyasının ibtidai funksiyasıdırsa , onda C  sabit ədəd olduqda F(x)+c funksiyası da həmin f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası olar.

(1) bərabərliyinə görə :
F x  c^  F ^x  f x .

Buradan alırıq ki, əgər f(x) funksiyasının bir F(x) ibtidai funksiyası vardırsa onda

F (x)  c

şəklində olan sonsuz sayda bütün funksiyalar da həmin funksiyanın ibtidai funksiyasıdır.

Teorem. f ^x^ funksiyasının  iki F(x) və Ф(х) ibtidai funksiyası bir-birindən sabit ədədlə fərqlənir: Ф(х) =F(x)+c (3).

Tərif.

f x

funksiyasının ^a,b^

parçasında bütün ibtidai funksiyaları çoxluğuna

f x

funksiyasının həmin parçada qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və

kimi işarə olunur. Onda

_ f xdx

_ f x dx  F (x)  c

(4)

(5) olar. Burada ∫- işarəsi , x-

inteqrallama dəyişəni , f(x) inteqralaltı funksiya , f (x) dx isə inteqralaltı ifadə adlanır.
Qeyri-müəyyən inteqralın sadə xassələri.

_ f x dx  F (x)  c

(1)

F^x 

f x

(2)

Xassə 1. Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya bərabərdir;

_ f xdx^ 

f x
(3)

Xassə 2. Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadəyə bərabərdir.

d _ f xdx

f xdx

Xassə 3. Hər hansı funksiya diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı həmin funksiya ilə 

sabitin cəminə bərabərdir. _ dF(x)  F (x)  c

Xassə 4. Sonlu sayda funksiyalar cəminin qeyri-müəyyən inteqralı onların qeyri-müəyyən inteqralının cəminə bərabərdir ;

_  f₁ x 

f ₂ x  … 

f_n xdx  _ f₁ xdx  _ f ₂ xdx  …  _ f_n xdx

(4)

Xassə 5. Sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə cıxarmaq olar.

_ Af xdx  A_ f xdx

(5)

Nəticə: İki funksiya fərqinin qeyri-müəyyən inteqralı onların qeyri-müəyyən inteqrallarının fərqinə bərabərdir.

_  f x  x dx  _ f xdx  _ xdx

(6)

Xassə 6. İnteqralın inteqrallama dəyişəninə nəzərən invariantlıq xassəsi vardır, yəni

_ f (x)dx  F (x)  c

olarsa ,onda istənilən diferensiallanan u=u(x) funksiyası üçün

1. 
   _ x²dx 
   

_x1



  1 ^C,
  1

_ f (u)du  F (u)  c

Əsas inteqrallar cədvəli.
11.

(7) olar.


^dx  arctgx C

1  x ²

2. 
   _ ^{dx  ln x  C}
   

12.

_ ^dx  ¹ arctg ^x  C

^x a ²  x ^{2 a a}

3. 
   _ ^{sin xdx   cos x  C}
   

13.

_ dx _ 1 _ln a  x _{ C}

a²  x²

2a a  x

4. 
   _ ^{cos xdx  sin x  C}
   

14.

_ ^dx  arcsin x  C

5. 
   
   
   ^dx  tgx  C
   

cos² x

15.

^dx  arcsin ^x  C



a

6. 
   
   
   ^dx  ctgx  C
   

sin² x

16. _ ^dx ln x 

7. 
   _ tgxdx   ln cos x  C
   
8. 
   _ ctgxdx  ln sin x  C
   

17. 
    _ chxdx  shx  C
    
18. 
    
    
    _ shxdx  chx  C
    


9. _ e^xdx  e^x  C

19.

^dx  thx  C ch ² x

10.

_ a^xdx 

_ax



C

ln a

20.

^dx  cthx  C sh² x