Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

Tərs matris

Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisdir. Bu halda AB=BA=I bərabərliyini ödəyən kvadrat B matrisinə A matrisinin tərs matrisi deyilir və B=A^-1 ilə işarə olunur.

Teorem: Kvadrat A matrisinin tərs matrisi olması üçün onun determinantının sıfırdan fərqli olması zəruri və kafidir.

n
tərtibli kvadrat matrisin tərs matrisi 𝐴⁻¹ = ¹

det 𝐴

düsturu ilə tapılır.

^𝐴11 ^𝐴21 ^{⋯ 𝐴}𝑛1 ₍^𝐴12 ^𝐴22 ^{⋯ 𝐴}𝑛2₎


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝐴1𝑛 ^𝐴2𝑛 ^{⋯ 𝐴}𝑛𝑛

Burada A_ij (i,j=1,2,...,n) ilə A matrisinə uyğun determinantın a_ij elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunmuşdur. Determinantı sıfra bərabər olan matrisə cırlaşmış matris,determinantı sıfırdan fərqli olan matrisə cırlaşmamış matris deyilir.

𝟏	𝟐	𝟎
^Misal:^𝑨^=^|𝟑	𝟐	𝟏^|^matrisinin^tərs^matrisini^tapın.
𝟎	𝟏	𝟐

𝟏 𝟐 𝟎

^{Həlli:det 𝐴 = |}𝟑 𝟐 𝟏^{| = 𝟒 + 𝟎 + 𝟎 − 𝟎 − 𝟏 − 𝟏𝟐 = −𝟗 ≠ 𝟎 olduğuna}

𝟎 𝟏 𝟐

görə,A matrisi cırlaşmayandır və onun A^-1 tərs matrisi var:

^𝐴11 ^𝐴21 ^𝐴31

_𝐴−1 ₌ ¹

(^𝐴₁₂ ^𝐴₂₂ ^𝐴₃₂) ^{düsturuna əsasən tərs matrisi tapaq.}

𝑑𝑒𝑡𝐴

^𝐴13 ^𝐴23 ^𝐴33

^{𝐴11 = (−1)1+1} |^{2 1}| ^{= 4 − 1 = 3 ; 𝐴21 = (−1)2+1} |^{2 0}| ^{= −4}

1 2 1 2

^{𝐴31 = (−1)3+1} |^{2 0}| ^{= 2 ; 𝐴12 = (−1)1+2} |^{3 1}| ^{= −6}

2 1 ^{0 2}

^{𝐴22 = (−1)2+2} |^{1 0}| ^{= 2 𝐴32 = (−1)3+2} |^{1 0}| ^{= −1}

0 2 3 1

^{𝐴31 = (−1)1+3} |^{3 2}| ^{= 3 𝐴23 = (−1)2+3} |^{1 2}| ^{= −1}

0 1 0 1

Olduğundan

^{𝐴 = (−1)3+3} |^{1 2}| ^{= −4.}


33
3 2

₁ 3 −4 2

1 4 2

_l⁻ 3 9 ⁻ 9

𝐴⁻¹ = −

⁽−6 2 −1^{) = I 2}

− 2 1 _I.

⁹ 3 −1 −4

I 3 9 9 I

− 1 1 4

^𝗁 3 9 9 ⁾

Bəzi hallarda tərs matrisi tapmaq üçün matrisin elementar çevirmələrinə əsaslanan aşağıdakı üsuldan istifadə olunur.

1. 
   Matrisin sətirlərinin (sütunlarının) yerini dəyişmək.
   
2. 
   Matrisin sətrini (sütununu) sıfırdan fərqli ixtiyari ədədə vurmaq və ya bölmək.
   
3. 
   Matrisin hər hansı bir sətrini (sütununu) bir ədədə vurub başqa bir sətrin (sütunun) üzərinə əlavə etmək lazımdır.
   

n tərtibli A matrisinin tərs matrisini tapmaq üçün onun sağ tərəfində I vahid matrisi yazılaraq alınan düzbucaqlı matrisin yalnız sətirləri üzərində elementar çevirmələr aparmaqla A-nın yerində I vahid matris alınmasına nail olurlar. Bu zaman I matrisinin yerində alınan yeni matris A-nın tərs matrisi olur.

2 7 3

^{Misal: 𝐴 = (}3 9 4^{) matrisinin tərsini elementar çevirmə vasitəsilə tapın.}

1 5 3

2 7	3 1	0	0	1	5	3 0	0	1
^(3 9	4^|0	1	0^)^→	^(2	7	3^|1	0	0^)^→
1 5	3 0	0	1	3	9	4 0	1	0

1 5 3

0 0 1

1 5 3

0 0 1

^→^(0	−3	−3^|1	0	−2^)^→^(0	−3	−3^|1	0	−2^)^→
0	−6	−5 0	1	−3 0	0	1 −2	1	1

6 −3 −2

− 7 2 − 1

1 5 0 _{5 1 l}1 0 0 _{3 3}

^{→ (}0 1 0^|

₃ −1 −



^{) →} _I^{0 1 0}_| 5







_1I →

0 0 1

3

−2 1 1

0 0 1

𝗁

₃ −1 − ₃

−2 1 1 )

₋ 7

3

^{𝐴−1 =} ( ⁵

3

2 − ¹

3

−1 − ^1).

3

−2 1 1

Tutaq ki,(mxn) ölçülü

Matrisin ranqı.

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


⋯ ⋯ ⋯ ⋯
_{𝐴 = (} ^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛 ₎

^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛

Matrisi verilmişdir. Bu matrisin k≤min(mxn) şərtini ödəyən ixtiyari k sayda sətri ilə k sayda sütununun kəsişməsində duran elementlərindən düzəldilmiş k tərtibli determinanta A matrisinin k tərtibli minoru deyilir.

Tərif: A matrisinin sıfırdan fərqli ən yüksək tərtibli minorunun tərtibinə bu matrisin ranqı deyilir.

A matrisinin ranqı ranqA=r(A) kimi işarə olunur və 0≤r(A)≤min(mxn) bərabərsizliyini ödəyir. Matrisin ranqını hesablamaq üçün iki üsuldan istifadə edirlər. Birinci üsul seçmə ilə matrisin sıfırdan fərqli ən yüksək tərtibli minorunu tapmağa əsaslanır.

Bu zaman nəzərə almaq lazımdır ki,matrisin ranqı r-ə bərabərdirsə,onda tərtibi r- dən böyük olan bütün minorları sıfra bərabərdir.

Tərif. Matrisin xətti asılı olmayan sətirlərinin maksimal sayına matrisin ranqı deyilir. Matrisin ranqını hesablamağın ikinci üsulu onun üzərində aparılan elementar çevirmələrə əsaslanır. Elementar çevirmələr nəticəsində matrisin ranqı dəyişmir.Elementar çevirmələr vasitəsilə hər bir matrisi diaqanal şəklə gətirmək olar. Aydındır ki, diaqonal şəklində olan hər bir matrisin ranqı baş diaqonalda olan sıfırdan fərqli elementlərin sayına bərabərdir.

Xətti tənliklər sistemi və onların həlli.

Aşağıdakı xətti tənliklər sisteminə baxaq:

𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁

{
𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

(1)

𝑎_𝑚1𝑥₁ + 𝑎_𝑚2𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑚

Burada a_ij həqiqi əmsallar,b_i sərbəst hədlər,x_j , 𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑚^̅̅, 𝑗 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅ axtarılan məchullardır. (1) xətti tənliklər sistemində b₁=b₂=...=b_m=0 olduqda ona xətti bircins tənliklər sistemi,sərbəst hədlərdən heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda isə ona xətti bircinsli olmayan tənliklər sistemi deyilir.

Həlli olan sistemə uyuşan (birgə),həlli olmayan sistemə isə uyuşmayan (birgə olmayan) sistem deyilir.Uyuşan sistemin bir və ya bir neçə həlli ola bilər. Əgər uyaşan sistemin bir həlli varsa ona müəyyən,birdən çox həlli varsa ona qeyri müəyyən sistem deyilir.

(1) sisteminin məchullarının əmsallarından düzəlmiş əsas matris:

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


^{𝐴 =} ( )
^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛

A matrisinə tənliklərin sağ tərəfindəki sərbəst hədlərdən ibarət olan sütunu əlavə edib yeni genişlənmiş matrisi 𝐴^̅ ilə işarə edək.

^{𝐴̅ =} (

^𝑎11 ^𝑎12 ^{… 𝑎}1𝑛

^𝑎21 ^𝑎22 ^{… 𝑎}2𝑛

… … … … … … . .

𝑏₁


…
| ^𝑏2 )

^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{… 𝑎}𝑚𝑛

𝑏_𝑚

Xətti tənliklər sisteminin Kramer qaydası ilə həlli.

(1) sistemində məchulların sayı tənliklərin sayına bərabər olduqda (m=n) həmin sistemin həlli Kramer qaydası ilə tapılır.Tənliklərin sayı məchulların sayına bərabər olan aşağıdakı sistemə baxaq:

𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁

{
𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

𝑎_𝑛1𝑥₁ + 𝑎_𝑛2𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛

(4)

Bu sistemin əmsallarından və sərbəst hədlərindən aşağıdakı determinantları düzəldək:

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛


^∆= | |
^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

^𝑎𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

Bu determinanta verilmiş sistemin əsas determinantı deyilir.Sistemin əsas determinantında ardıcıl olaraq i-ci sütunu sərbəst hədlərdən ibarət olan sütunla əvəz etdikdə alınan determinantları ∆_𝑥1 , ∆_𝑥2 , … , ∆_𝑥𝑛 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) ilə işarə

etsək alınar.

∆_𝑥

^𝑏1 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛

_{= |} ^𝑏2 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑎}2𝑛 _{|, ∆𝑥}

^𝑎11 ^𝑏1 ^{⋯ 𝑎}1𝑛

⁼ | ^{𝑎21 𝑏2 ⋯ 𝑎2𝑛} |<sup>,..., ∆𝑥

𝑎</sup>11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑏}1

_{= |} ^𝑎21 ^𝑎22 ^{⋯ 𝑏}2 _|

¹ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

^𝑏𝑛 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

² ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

^𝑎𝑛1 ^𝑏𝑛 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛

^𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

^𝑎𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑏}𝑛

Kramer teoremi.(4) xətti tənliklər sisteminin əsas determinantı ∆≠ 0

olduqda,onun yeganə həlli var və bu həll aşağıdakı düsturlarla tapılır:

𝑥 = ∆¹ , 𝑥

= ^∆2 , … , 𝑥

= ∆_𝑛

1 _∆ 2 _∆ 𝑛 _∆
Bu düsturlara Kramer düsturları,həllin bu qayda ilə tapılmasına isə Kramer qaydası deyilir.

Misal : Xətti tənliklər sistemini Kramer qaydası ilə həll et.

𝑥₁ − 𝑥₂ + 𝑥₃ = 5

{^{2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6}

𝑥₁ + 𝑥₂ + 2𝑥₃ = 4

Həlli:Sistemin əsas determinantını hesablayaq.

1 −1 1

^{∆= |}2 1 1^{| = 2 + 2 − 1 − 1 − 1 + 4 = 5 ≠ 0}

1 1 2

5 −1 1

1 5 1

1 −1 5

∆₁= |_{6 1 1}| = 15, ∆₂= |_{2 6 1}| = −5, ∆₃= |_{2 1 6}| = 5

4 1 2

1 4 2

1 1 4

𝑥 = ∆¹ = 15 = 3, 𝑥

= ∆² = −5 = −1, 𝑥

= ∆_𝑛 5

¹ ∆ 5

² ∆ 5

_{3 ∆} = ₅ = 1.