Takrorli o‘rin almashtirishlar

1- misol. Ikkita , bitta va ikkita harflardan tashkil topgan kortej uchun barcha takrorli o‘rin almashtirishlarni tuzing.
Bu misolda uch turdagi ( ) harflar soni beshga teng (n=5) bo‘lib, (ikkita ), (bitta ) va (ikkita ). Dastlabki ikkita harflarning (xuddi shuningdek, oxirgi ikkita harflarning ham) o‘rinlarini o‘zaro almashtirsak yangi o‘rin almashtirishlar hosil bo‘lmaydi. Barcha takrorli o‘rin almashtirishlar soni bo‘ladi. Bu o‘ttizta o‘rin almashtirishlarning hammasi quyida keltirilgan:
,
,
,
,
. ■
2.4.2. Takrorli o‘rinlashtirishlar. ta elementlardan tashkil topgan to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu elementlardan foydalanib, ta elementdan tashkil topgan kortejlarni shunday tuzamizki, bu kortejlarga har bir element hohlagancha marta (albatta dan oshmagan miqdorda) kirishi mumkin bo‘lsin va bu kortejlar bir-biridan ularni tashkil etuvchi elementlar turlari bilan yoki bu elementlarning joylashishlari bilan farq qilishsin.
2- ta’rif. Shunday usul bilan tuzilgan kortejlarning har biri ta turli elementlardan takrorlanuvchi elementlar qatnashgan tadan o‘rinlashtirish
(qisqacha, takrorli o‘rinlashtirish) deb ataladi.
ta turli elementlardan tadan takrorli o‘rinlashtirishlar sonini bilan belgilaymiz.
2- teorema. ta turli elementlardan tadan takrorli o‘rinlashtirishlar soni ga teng, ya’ni .
Isboti. Berilgan uchun takrorli o‘rinlashtirishdagi elementlar soni bo‘yicha matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Baza: takrorli o‘rinlashtirishlar bo‘lganda bitta elementdan tuzilishi ravshan. Tabiiyki, bunda hech qanaqa takrorlanish haqida gap bo‘lishi mumkin emas. Bu holda elementlar soni bo‘lgani uchun takrorli o‘rinlashtirishlar soni ham ga teng: .
Induksion o‘tish: teoremaning tasdig‘i bo‘lganda to‘g‘ri, ya’ni bo‘lsin. Bu tasdiq bo‘lganda ham to‘g‘ri bo‘lishini isbotlaymiz. Buning uchun ta turli elementlardan tadan takrorli o‘rinlashtirishning istalgan birini olib, unga elementli to‘plamning ixtiyoriy bitta elementini ( )- element sifatida kiritamiz. Natijada qandaydir ( )tadan takrorli o‘rinlashtirishni paydo qilamiz. Tabiyki, qaralayotgan tadan o‘rinlashtirishlarning har biridan yangi ta ( )tadan takrorli o‘rinlashtirishlar hosil qilish mumkin. Shunday usul bilan ishni davom ettirsak, barcha mumkin bo‘lgan ( )tadan takrorli o‘rinlashtirishlarni hosil qilamiz, bu yerda birorta ham ( )tadan takrorli o‘rinlashtirishlar qolib ketmaydi va hech qaysi ilgari ko‘rilgan ( )tadan takrorli o‘rinlashtirish qaytadan paydo bo‘lmaydi. Ko‘paytirish qoidasiga asosan ta turli elementlardan ( )tadan takrorli o‘rinlashtirishlar soni tadan takrorli o‘rinlashtirishlar soniga nisbatan marta ortiqdir, ya’ni . ■