Takrorli o‘rin almashtirishlar

2.4.4. Ko‘phad formulasi. Takrorli kombinatsiyalar vositasida Nyuton binomi tushunchasini umumlashtiramiz, ya’ni ifodaning yoyilmasini topish muammosini qaraymiz. Buning uchun qaralayotgan ifodani ta bir xil ifodalar ko‘paytmasi, ya’ni

shaklida yozib, qavslarni ochamiz va o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz. Natijada, ifodaning yoyilmasi hosil bo‘ladi. Yoyilmaning tarkibidagi qo‘shiluvchilarning har birida elementlardan tashkil topgan takrorli o‘rin almashtirishlar bor, bu yerda har bir qo‘shiluvchi qandaydir koeffitsient va ta elementlarning ko‘rinishdagi ko‘paytmasidan iboratdir. Yoyilmadagi ko‘paytmaning koeffitsientini aniqlash uchun ta ( ) elementli takrorli o‘rin almashtirishlar sonini topish kerak, ya’ni sonni hisoblash kerak. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi.
4- teorema. Ixtiyoriy haqiqiy va natural sonlar uchun

formula o‘rinlidir, bu formulaning o‘ng tomonidagi yig‘indi shartni qanoatlantiruvchi barcha manfiymas butun sonlar uchun amalga oshiriladi.
Isbotlangan oxirgi tenglik ko‘phad formulasi yoki umumlashgan Nyuton binomi formulasi deb yuritiladi. sonlarni ko‘phadiy koeffitsientlar deb ataymiz.
binomial koeffitsient ko‘phadiy koeffitsientning bo‘lgandagi xususiy holidir. Haqiqatdan ham, tenglikda deb olsak, u holda va bo‘ladi.
5- misol. ifodaning yoyilmasini toping. Avvalo 3 sonini bo‘laklaymiz, ya’ni 3ni mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar bilan manfiymas butun sonlar yig‘indisi shaklida yozamiz:
3=3+0+0, 3=2+1+0, 3=2+0+1, 3=1+2+0, 3=1+1+1,
3=1+2+0, 3=0+3+0, 3=0+2+1, 3=0+1+2, 3=0+0+3.
Demak, ko‘phad formulasiga ko‘ra,


.
Takrorli o‘rin almashtirishlar soni formulasini qo‘llab quyidag tenglikni hosil qilamiz:

. ■
Ko‘phad yoyilmasining hadlarini yozganda shunga e’tibor berish kerakki, agar ( ) sonlar ( ) sonlarning o‘rin almashtirishlari yordamida hosil qilinishi mumkin bo‘lsa, u holda va hadlarning koefitsientlari o‘zaro teng bo‘ladi. Shuning uchun sonining ko‘rinishda ifodalanishlaridan qandaydir shartni bajaradigan birortasini, masalan, (yoki ) shartni qanoatlantiradiganini topib, unga mos ifodada daraja ko‘rsatgichlarini mumkin bo‘lgan barcha usullar bilan almashtirish kerak bo‘ladi.
Masalan, 5- misoldagi , , , , va hadlarning ko‘phadiy koeffitsientlari o‘zaro tengdir. Yuqorida ko‘rsatilgan shart asosida 3 sonini manfiymas butun sonlar yigindisi ko‘rinisida bo‘laklashning 3 imkoniyati bor: 3=3+0+0, 3=2+1+0, 3=1+1+1. Shuning uchun, ifodaning yoyilmasida 3 xil turli koeffitsientlarga egamiz: , va . Demak,

.
Ko‘phad formulasi yordamida ko‘phadiy koeffitsientlarning, ya’ni sonlarning ba’zi xossalarini osonlik bilan isbotlash mumkin. Masalan,
,
bu yerda yig‘indi shartni qanoatlantiruvchi barcha manfiymas butun sonlar uchun amalga oshiriladi va qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinadi.
Haqiqatdan ham, agar ko‘phad formulasida deb olsak, kerakli tenglikni hosil qilamiz.