Tenzorlar va ular ustida amallar

Tenzor ta’rifi va misollar.
Ta'rif
Tenzor (lot. tensus — kuchlanish, taranglash) — vektor tushunchasini umumlashtirib, bir necha maʼnoda qoʻllanib kelinayotgan matematik atama. Bu atama tenzorlar hisobiaya koordinatalarning bir tizimidan ikkinchi tizimiga oʻtganda maxsus qonun boʻyicha oʻzgaradigan miqdor (kattalik)larni bildiradi. Mas., tutash muhitlar mexanikasida qayishqoq (egiluvchan) jismning holatini ifodalovchi miqsor (deformatsiya tenzori) yoki qattiq jism massasining olingan nuqtaga nisbatan taqsimlanishini ifodalovchi miqdor (inersiya tenzori), shuningdek, tutash jismning biror nuktasida kuchlanishlarni ifodalovchi miqdorlar (kuchlanishlar tenzori).
Nosimmetrik monoidal kategoriya a monoidal kategoriya (ya'ni "tensor mahsuloti" bo'lgan toifani   tensor mahsuloti nosimmetrik bo'lishi uchun (ya'ni aniqlanadi).   ma'lum bir qat'iy ma'noda tabiiy ravishda izomorfdir   barcha ob'ektlar uchun   va   toifadagi). Nosimmetrik monoidal toifaning prototipik misollaridan biri bu vektor bo'shliqlarining toifasi ba'zilari ustidan sobit maydon k, oddiy foydalanish vektor bo'shliqlarining tensor hosilasi.
Ta'rif
Nosimmetrik monoidal kategoriya a monoidal kategoriya (C, ⊗, Men) har bir juftlik uchun A, B ob'ektlar C, izomorfizm mavjud an`anaviy tabiiy ikkalasida ham A va B va shunday qilib quyidagi diagrammalar qatnaydi:
Birlikning muvofiqligi:

Assotsiativlik izchilligi:

Teskari qonun:

Misollar


Yuqoridagi diagrammalarda, a, l , r assotsiativlik izomorfizmi, chap birlik izomorfizm va o'ng birlik izomorfizmdir. Ruxsat bering R komutativ uzuk bo'ling va ruxsat bering A va B bo'lishi R-algebralar. Beri A va B ikkalasi ham ko'rib chiqilishi mumkin R-modullar, ularning tensor mahsuloti
A otimes _ {R} B
ham R-modul. Shakl elementlari bo'yicha mahsulotni aniqlash orqali tenzor mahsulotiga halqa tuzilishi berilishi mumkin a ⊗ b tomonidan[1][2] (a_1 otimes b_1) (a_2 otimes b_2) = a_1 a_2 otimes b_1b_2 va keyin hammasiga chiziqli ravishda kengaytiriladi A ⊗R B. Ushbu uzuk an R-algebra, assotsiativ va birlik elementi bilan berilgan 1A ⊗ 1B.[3] qaerda 1A va 1B ning identifikatsiya elementlari A va B. Agar A va B kommutativ, keyin tenzor mahsuloti ham kommutativ bo'ladi.
Tensor mahsuloti aylanadi toifasi ning R- algebralar Dan tabiiy gomomorfizmlar mavjud A va B ga A ⊗R B tomonidan berilgan[4] a mapsto a otimes 1_B b mapsto 1_A otimes b Ushbu xaritalar tensor mahsulotini qo'shma mahsulot ichida kommutativ kategoriya R-algebralar. Tensor mahsuloti emas barchaning toifasidagi mahsulot R-algebralar. U erda qo'shimcha mahsulot umumiyroq berilgan algebralarning bepul mahsuloti. Shunga qaramay, komutativ bo'lmagan algebralarning tenzor mahsulotini a bilan tavsiflash mumkin universal mulk qo'shma mahsulotga o'xshash:
{ displaystyle { text {Hom}} (A otimes B, X) cong lbrace (f, g) in { text
{Hom}} (A, X) times { text {Hom}} (B, X) mid for all a in A, b in B: [f (a), g (b)] = 0 rbrace,}
bu erda [-, -] ning ma'nosi komutator.The tabiiy izomorfizm morfizmni aniqlash orqali beriladi phi: A otimes B dan X gacha chap tomonda juft
morfizmlar bilan (f, g) o'ng tomonda qaerda f (a): = phi (a otimes 1) va shunga o'xshash g (b): = phi (1 otimes b).
Kommutativ algebralarning tenzor mahsuloti doimiy ravishda ishlatiladi algebraik geometriya. Uchun afine sxemalari X, Y, Z dan morfizmlari bilan X va Z ga Y, shuning uchun X = Spec (A), Y = Spec (B) va Z = Spec (C) ba'zi komutativ halqalar uchun A, B, C, tola mahsuloti sxemasi algebralarning tenzor mahsulotiga mos keladigan affin sxemasi:
{ displaystyle X times _ {Y} Z = operatorname {Spec} (A otimes _ {B} C).}
Umuman olganda, sxemalarning tola mahsuloti ushbu shakldagi afinali to`la mahsulotlarini yopishtirish orqali aniqlanadi.
Tensor mahsuloti olish vositasi sifatida ishlatilishi mumkin chorrahalar a-dagi ikkita pastki qismdan sxema: ko'rib chiqing { displaystyle mathbb {C} [x, y]}-algebralar { displaystyle mathbb {C} [x, y] / f}, { displaystyle mathbb {C} [x, y] / g}, keyin ularning tensor mahsuloti { displaystyle mathbb {C} [x, y] / (f) otimes _ { mathbb {C} [x, y]} mathbb {C} [x, y] / (g) cong mathbb {C} [x, y] / (f, g)}, ning kesishishini tavsiflovchi algebraik egri chiziqlar f = 0 va g Afine tekisligida = 0 C.
Tensorli mahsulotlar koeffitsientlarni o'zgartirish vositasi sifatida ishlatilishi mumkin. Masalan, { displaystyle mathbb {Z} [x, y] / (x ^ {3} +
5x ^ {2} + x-1) otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {Z} / 5 cong mathbb {Z} / 5 [x, y] / (x ^ {3} + x-1)} va { displaystyle mathbb {Z} [x, y] / (f) otimes _ { mathbb {Z}} mathbb {C} cong mathbb {C} [x, y] / (f)}.
Tensorli mahsulotlarni olish uchun ham foydalanish mumkin mahsulotlar maydon bo'yicha afinaviy sxemalar. Masalan, { displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}] / (f (x)) otimes _ { mathbb {C}} mathbb {C} [y_ {1}, y_ {2 }] / (g (y))} bu izomorfik algebra uchun { displaystyle mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}] / (f (x), g (y))} affin sirtiga to'g'ri keladi { displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {C}} ^ {4}} agar f va g nol emas.
1.2. Tenzorlar ustida amallar


Avvalgi paragraflarda yig’indi olish amali bilan bog’langan (2), (3), (4) formulalar yoki (9) ni keltirib chiqarishlagi formulalarga diqqat qiladigan bo’lsak, shunday narsa ko’zga tashlanadi: yig’indi olinayotgan indeks ikki marta uchraydi va uni xohlagan harf bilan ishoralash mumkin. Tenzorlar nazariyasida yig’indi olish amalini yozishda mana bunday usul qabul qilingan: biror indeks bo’yicha yig’indi olinganda bu indeks ikki marta yozilib, yig’indi belgisi yozilmaydi. SHu aytilganlar nazarda tutilsa, (2), (16),
(3), (4), (7), (8), (14), (15) formulalar xipcha shaklda yozilishi mumkin:

Yig’ish indeksi (1) da k bilan, (2) da n bilan yoki (8) da i bilan ko’rsatilgan. Yig’ish indeksi qaysi harf bilan ko’rsatilmasin, tekshirilayotgan matematik ifodaning ma’nosi o’zgarmasdan qolaveradi. Masalan, (5) ni yozishda yig’ish indeksi k o’rniga m,n,l,s,p yoki yana bosha xil harflarni ishlatishimiz mumkin:




YUqoridagi misollarimizdan shunisi ham ravshanki, yig’indi olish amaliga daxlsiz bo’lgan indeks yoki indekslar tenglikning ikkala tomonida o’zgarmasdan saqlanadi. Formulalarda ishtirok qiluvchi indekslarning qar biri yo 1 ga yo 2 ga yoki 3 ga teng bo’lishi mumkin.
Vektorning analitik ta’rifini ifodalovchi (5) formulada yoki (6) formulada yig’indi hadlarining har birida uchraydigan vektor komponenti birinchi darajadagina ishtirok tsiladi. Demak, vektor komponentlarini almashtirish formulasi vektor komponentlariga nisbatan bir jinsli va chiziqlidir. SHuning uchun, biror Dekart sistemasida nolga teng bo’lgan vektor boshqa Dekart sistemasida ham nolga teng bo’ladi.
Tenzorlarni ta’riflashda vektor komponentlarini almashtirish formulasi asos qilib olinadi.
Quyidagi uchta vektor berilgan bo’lsin:
Birinchi va ikkinchi vektor komponentlarining ikkitalab olingan ko’paytmasini yozaylik:
Chap tomondagi ab ko’paytmalarning umumiy soni Z² = 9 dir. O’ng tomondagi a’b’ ko’paytmalarning umumiy soni ham Z² = 9. Endi uchta vektor komponentlarining uchtalab olingan ko’paytmasini yozaylik:
CHap tomondagi abc ko’paytmalarning umumiy soni 3³ = 27, o’ng tomonidagi a’b’c’ ko’paytmalarning umumiy soni ham 3² =27 dir.
So’nggi formulalarning muhim tomoni shundan iboratki, vektor komponentlarining ko’paytmalari aniq almashtirish qonunlariga bo’ysunadi.
Bu almashtirish formulalari komponentlarning ko’paytmalariga nisbatan chiziqli va bir jinsli dir.
Tenzor deb ataluvchi miqdor ham o’ziga xos almashtirish qonunlariga ega.
Ikki Dekart sistemasining birida Z² = 9 ta T'_ij miqdor to’plami, ikkinchisida esa Z² = 9 ta boshqa T’_ij miqdor to’plami berilib, bu ikki to’plam miqdorlari ushbu almashtirish qonuniga bo’ysunsin deb faraz qilaylik.
(9)
SHu almashtirish qonuniga buyso’ngan Z² = 9 ta miqdor to’plami ikkinchi rangli (ikkinchi tartibli) tenzor deyiladi.
Endi ikki Dekart sistemasining biridagi Z³ = 27 ta T_ijk miqdor to’plami bilan ikkinchisidagi Z³ = 27 ta boshqa T_lmn miqdor to’plami quyidagi almashtirish qonuniga bo’ysunsin:
(10)
Almashtirish qonuni shu formulada ifodalangan Z³ = 27 ta miqdor to’plami uchinchi rangli (uchinchi tartibli) tenzor deyiladi. SHuning singari davom ettirib, yuqori rangli (yuqori tartibli) tenzorlar tushunchasini kiritish mumkin. Masalan, beshinchi rangli (beshinchi tartibli) tenzor uchun bunday yozamiz:
(11)
Koordinatalarning ma’lum sistemasida tenzorni tashkil qiluvchi to’plam miqdorlari tenzorning shu sistema dagi komponentlari deyiladi. Tenzor indekslarining soni tenzorning rangini (tenzorning tartibini) ko’rsatadi.
Tenzor komponentlarining soni N albatta Z^t ga tengdir:
(12)
Ba’zi avtorlar tenzorning rangini tenzorning valentligi va tenzorning komponentlarini tenzorning koordinatalari deb atashadi.
Tenzor komponentlarini almashtirish, formulalari, tenzor komponentlariga nisbatan chiziqli va bir jinslidir. Demak, tenzor komponentlari biror sistemada nolga teng ekan, har qanday sistemada ham bu komponentlar nolga teng bo’ladi.
Tenzor komponentlarini almashtirish formulalarida almashtirish koeffitsiyentlari a_tp ning qanday ishtirok kilishi diqqatga sazovordir: tenzor komponentlarini almashtirish formulalaridagi har bir hadda ko’paytma hosil qiluvchi almashtirish koeffitsiyentlarining umumiy soni tenzor rangiga teng, masalan, (11) da 5 ga, (10) da 3 ga, (9) da 2 ga tengdir. Vektor komponentlarini almashtirish formulasida esa almashtirish koeffitsiyentlari faqat birinchi darajadagina ishtirok qiladi. Demak, vektor tenzorning xususiy xolidir: vektor—birinchi rangli tenzordir.
Invariantni xam tenzorning xususiy holi deb qarash mumkin. Xaqiqatan ham har qanday sistemada birday bo’lib qoladigan, ya’ni oordinatalar almashtirilganda o’zgarmasdan saqanadigan miqdorning invariant deyilishini bilamiz. Demak, ta’rifga muvofik:
(13) bo’ladi. Invariantni almashtirish formulasida almashtirish koeffitsiyentlari hech ishtirok qilmaydi. SHunday kilib, invariant—indekssiz tenzor, ya’ni nol rangli tenzor bo’lib, birgina komponentga ega, chunki bu yerda x=0 ekanligi sababli, (12) ga muvofiq:



bo’ladi.
Bizga ma’lum Kroneker simvoli (6) hamma sistemada bir xil sonlarni, ya’ni koordinatalarni almashtirishda o’zgarmasdan saqlanib qoluvchi sonlarni ifodalashiga qaramasdan, aslida u ikkinchi rangli tenzordir. Haqiqatan ham ikkinchi rangli tenzorni ifodalovchi formula (9) ning o’ng tomoni (6) ga muvofiq:
bo’ladi.
Bu yerda almashtirish koeffitsiyentlarining birinchi indekslari shtrixlangan (yangi) sistemaga daxlli ekanligini eslasak, u vaqtda ortogonallik sharti (14) ga ko’ra, so’nggi tenglamaning o’ng tomoni . bo’ladi, demak:
ya’ni Kroneker simvoli ikkinchi rangli tenzordir. Turli indeksli komponentlari nolga teng va bir xil indeksli kom ponentlari birga teng bo’lgan tenzor birlik tenzor deyiladi. Birlik tenzorni matritsa shaklida yozish mumkin:

SHunday qilib, Kronekerning simvoli birlik tenzordir.
Matritsa shaklida, masalan, ikkinchi rangli tenzorni tubandagicha yozamiz:

Ikkinchi rangli tenzorlarga misol qilib, qattiq jism inertsiya momentlarining tenzori I_ik elastik jism kuchlanishlar tenzori P_ik, elastik jism deformatsiya tenzori U_jk, jismlarning elektromagnit xususiyatlarini ifodalovchi dielektrik koeffitsiyentlar (dielektrik konstantalar) tenzori, magnit koeffitsiyentlari tenzori elektr o’tkazuvchanlik koeffitsiyentlari tenzori kabilarni ko’rsatib o’tish mumkin.
Tenzorlar bilan bajariladigan asosiy algebraik amallar
Tenzorlarni qo’shish masalasidan boshlaylik. Uchinchi rangli ikkita tenzor berilgan bo’lsin:

Bu tenzorlarning mos komponentlarini qo’shaylik:

A_ijk ni B_ijk S_ijk orqali belgilasak:
(4)
bo’ladi, u vaqtda:
(5)
Bu formula uchinchi rangli tenzor komponentlarini almashtirish qonunini ifodalaydi.
(4) ga muvofiq hosil qilingan C_imn tenzor A_imn, V_imn tenzorlarning yig’indisi deyiladi. Albatta, bir xil rangli tenzorlarnigina qo’shish mumkin, natijada o’sha rangli tenzor hosil bo’ladi.
SHuningdek, bir xil rangli ikki tenzor ayirmasi ham o’sha rangli tenzor bo’ladi. Masalan, yuqoridagi uchinchi rangli tenzorlar uchun:
(6)
bo’ladi. Tenzorlarni ko’paytirish masalasiga o’tamiz. (1) da ifodalangan uchinchi rangli tenzorni biror I invariantga ko’paytiraylik:

IA_lmn ni T_imn orqali belgilasak:
(8)
bo’ladi, nihoyat:
(9)
Natijada yana o’sha rangli, tenzor hosil bo’ldi. T_lmn tenzor I invariant bilan
Almn tenzorning ko’paytmasi deyiladi. Invariantni tenzorga ko’paytirish tenzorning rangini o’zgartirmaydi.
Ikkinchi rangli biror tenzor berilgan bo’lsin:
(10)
Uchinchi rangli tenzor va ikkinchi rangli tenzor komponentlarining ko’paytmalarini yozaylik:

B_lmnD_rs ni E_lmnrs orqali belgilasak:
(12)
bo’ladi, demak:
(13)
ya’ni beshinchi rangli tenzor hosil bo’ldi. (12) ga muvofiq: hosil qilingan E_imnrs tenzor berilgan V_imn, D_rs tenzorlarning ko’paytmasi deyiladi. Bizning misolimizda uchinchi rangli tenzor bilan ikkinchi rangli tenzor ko’paytmasi beshinchi rangli tenzor bo’ladi. SHuning singari, birinchi rangli ikki tenzor ko’paytmasi, ya’ni ikki vektor ko’paytmasi ikkinchi rangli tenzor bo’ladi, ikkinchi rangli tenzor bilan birinchi rangli tenzor ko’paytmasi uchinchi rangli tenzor bo’ladi va hokazo. Ikki tenzor ko’paytmasi tenzor bo’lib, uning rangi ko’paytiriluvsh tenzorlar ranglarining yig’indisiga teng. Demak, tenzorlarni bir-biriga ko’paytirish natijasida yuqori rangli tenzor vujudga keladi.
Vektorlar komponentlarining ko’paytmalari tegishli rangli tenzorlarni hosil qiladi. Masalan:
(14)
Komponentlari tegishli vektorlar komponentlarining ko’paytmalaridan tashkil topgan tenzor multiplikativ tenzor deyiladi. Ikkinchi rangli mu ltiplikativ tenzor, ya’ni ikki vektor komponentlarining ikkitalab olingan ko’paytmalari (14) diada deb ataladi.
Tenzorlarni ko’paytirish tartibi o’zgarsa, natija umuman o’zgaradi. Masalan:
(16)
Bu ikki tenzor komponentlari to’plami bir xil bo’lsa-da, bir xil joylarda bir xil indekslar bilan yozib ko’rsatilgan komponentlar farq qiladi. Demak, tenzorlar ko’paytmasi, umuman aytganda, kommutativlik xususiyatiga ega emas. Endi sodda bir misol kurib utaylik.
Kroneker tenzorini I invariantga ko’paytirsak, ikkinchi. rangli tenzor hosil bo’ladi:

Bu tenzorni ikkinchi rangli boshqa tenzorga qo’shsak yoki undan ayirsak, ikkinchi rangli yangi S va D tenzorlar hosil qilamiz:



Bu formulalar tez-tez uchrab turadi.
TENZORLAR HISOBI — mat. ning tenzorlar va ular ustida bajariladigan amallarni, tenzor xossalarini chiziqli algebra hamda matematik analiz vositalari bilan oʻrganuvchi boʻlimi. Tenzorlar hisobi vektor hisobi bilan matritsalar nazariyasining taraqqiyoti va umumlashishi natijasida vujudga kelgan boʻlib, differensial geometriya, Riman fazolari nazariyasi, nisbiylik nazariyasi, mexanika, elektrodinamika kabi fanlarda keng tatbiq etiladi.
Tenzor tabiatli mikdor koordinatalarning xar bir tizimida bir necha son bilan aniklanadi. Tizim oʻzgarishi bilan bu sonlar ham oʻzgaradi va fizik hodisa yoki obyektning oʻzini ifodalovchi sonlardan tashkari shunday son — mikdorlar vujudga keladiki, ular shu obyekt uchun tasodifiy rol oʻynaydi. Tenzorlar hisobida ana shu mikdorlar taʼsiridan qutulish yoʻllari koʻrsatiladi. Tenzorlar hisobi ham vektorlar hisobi kabi koordinatalar tizimini tanlahsan ozod qiluvchi matematik apparatdan iborat. Biror tizimda berilgan tenzor komponent (tuzuvchi) lari istalgan boshqa tizimda ham aniklangan boʻladi. Tenzorlar ustida hozirgacha qaralgan amallar algebraik amallar boʻlib, tenzorlar analizi (maydoni)da esa oʻzgaruvchan tenzorlar (hosila, xususiy hosila, differensial, integral, kovariant hosila, kovariant differensial) qaraladi. Tenzorlar hisobining bu boʻlimi matematika, fizikaning juda koʻp masalalarida muhim tatbiqiyamaliy tushunchalarni vujudga keltirish imkonini beradi.
Tarixiy maʼlumot. T. h. 19-a. da differensial geometriya, fizika ehtiyojlari natijasida vujudga kelgan differensial kvadratik formalar nazariyasi asosida yaratilgan. Shuningdek, Tenzorlar hisobining paydo boʻlishida sirtlar va koʻp oʻlchovli fazolar geometriyasidagi izlanishlar juda muhim boʻldi. Tenzorlar hisobini hozirgi zamon talablari darajasiga yetkazishda italiyalik matematiklar RichchiKurbastro bilan LeviChivitaning xizmatlari katta. Richchi va LeviChivita gʻoyalari (1901) dastlab keng tarqalmadi. Keyinchalik A. Eynshteyn oʻzining nisbiylik nazariyasining matematik qismini tamoman Tenzorlar hisobiga asosladi (1916).

II BOB YANGI AFFIN KOORDINATALAR SISTEMASI

2.1. Yo’nalishli tekislikdagi ikki vektor orasidagi burchak.


Tekislikda nol bo’lmagan ikkita va vektorlar berilgan bo’lsa, bu vektorlarni O nuqtaga ko’chirib ni hosil qilamiz, bu yerda . Hosil bo’lgan va nurlar orasida burchak va vektorlar orasidagi burchak deyiladi (24-chizma) va ko’rinishida belgilanadi.
Ixtiyoriy ikkita vektor uchun Orientatsiyalangan tekislikda yo’nalishga ega bo’lgan burchak tushunchasini kiritaylik.
Tekislikda va nol bo’lmagan vektorlar berilgan bo’lsin, agar bu vektorlarni tartiblasak, ya’ni vektorni birinchi vektorni ikkinchi deb olsak , u holda va vektorlar orasidagi burchak yo’nalgan burchak deb aytiladi va ko’rinishida yoziladi.
Agar , vektorlar o’ng bazisni tashkil qilsa, u holda >0 bo’ladi, chap bazisni tashkil qilsa - bo’ladi.
Agar bo’lsa, =0, agar bo’lsa .
Shunday qilib, vektorlar uchun .
2 5-chizmada , vektorlar o’ng bazisni , vektorlar chap bazisni tashkil qiladi. =30⁰, =-90⁰ (25-chizma).
Vaholanki, =-