Mavzu:Chiziqli bo’lmagan muhitlarda qo’zg’alishlar tarqalishining turli xil rejimlari.
Reja:
1. Asosiy tushunchalar va masalaning qo’yilishi. Model tuzish.
2. Model boshlang’ich shartlarning 2 ta holi.
Soni bo’lgan biror populyasiya qaralayotgan bo’lsin. Uni shartli ravishda uch guruhga bo’lamiz. Birinchi guruhga ayni bir kasallikka moyil, lekin hozircha sog’lom bo’lganlari kiritiladi. Ularning vaqtdagi sonini bilan belgilaylik. Ikkinchi guruhga infeksiya yuqtirganlar kiritiladi, ular kasallik tarqatish o’chog’i ham hisoblanadi. Ularning vaqt momentida sonini bilan belgilaymiz. Va nihoyat uchinchi guruhga sog’lom va bu kasallikka immuniteti bor odamlarni kiritamiz.
Ularning soni bo’lsin. Shunday qilib Faraz qilamizki, infeksiya yuqtirgan odamlar soni biror fiksirlangan sondan oshib ketsa, kasallikka moyil odamlar sonining o’zgarish tezligi o’sha kasallikka moyil odamlar soniga proporsional bo’lsin. Infeksiyalangan (kasallangan), biroq tuzala boshlagan odamlar sonining o’zgarish tezligi infeksiya yuqtirganlar soniga proporsional deb hisoblaymiz.
Yuqoridagi mulohazalarga asoslangan holda, kasallikka moyil odamlar soni o’zgarish modelini hosil qilamiz:
Kasallikka moyil har bir odam oxir oqibat infeksiya yuqtirishi tufayli, infeksiya yuqtirganlar sonining o’zgarish tezligi vaqt birligi ichida endi kasallanganlar va tuzala boshlaganlar soni farqi bilan aniqlanadi. Demak,
Bu yerda va proporsionallik koeffisiyentlari mos ravishda kasallanish va sog’ayish koeffisiyentlari deyiladi. Va nihoyat, tuzalayotgan va immunitetga ega odamlar sonining o’zgarishi
Yuqoridagi tenglamalar bir qiymatli aniqlanishi uchun boshlang’ich shartlarni berish kerak. Soddalik uchun t=0 vaqt momentida tuzalib immunitetga ega bo’lganlar yo’q, ya’ni R(0) infeksiyalanganlarning boshlang’ich soni ga teng deb hisoblaymiz. Shuningdek, kasallanish va sog’ayish koeffisiyentlari teng (α = β) deb olamiz. Natijada ikki holatni qarab chiqish zarurati tug’iladi.
1-holat. Bu holatda vaqt o’tishi bilan kasallikka chalinish yuz bermaydi, chunki bunda va demak, (1) tenglikka va R(0)=0 shartga ko’ra barcha t larda tenglik S(t)=S(0)=N-I(0) bajariladi. Qaralayotgan hol ko’p infeksiyaga uchraganlar izolyasiyada bo’lgan vaziyatga mos keladi.
Bu holatda (3) tenglamadan tenglamaga kelamiz. Bu yerdan . Demak, )=(1-) .
