14.1-misol. , operatorga chap teskari operatorni toping. o‘ngga siljitish operatori deyiladi.
Yechish. bilan chapga siljitish operatorini belgilaymiz:
.
Endi operatorning elementga ta’sirini qaraymiz.
.
Demak, operator uchun chap teskari operator ekan.
14.2. 14.1-misolda keltirilgan operatorga o‘ng teskari operator mavjudmi?
Yechish. Faraz qilaylik, ga o‘ng teskari operator mavjud bo‘lsin. Uni orqali belgilaymiz. 14.1-tasdiqqa ko‘ra (14.1-misolga qarang) bo‘ladi, ya’ni
.
Endi operatorning elementga ta’sirini qaraymiz.
.
Demak, operator uchun o‘ng teskari operator emas ekan. Bundan uchun o‘ng teskari operatorning mavjud emasligi kelib chiqadi.
14.2-tasdiq. Agar uchun bir vaqtda ham o‘ng teskari, ham chap teskari operatorlar mavjud bo‘lsa, u holda teskarilanuvchan operator bo‘ladi va tenglik o‘rinli.
14.2 tasdiqning isboti 14.1-tasdiq va (14.1) tenglikdan kelib chiqadi.
14.1-teorema. chiziqli operatorga teskari bo‘lgan operator ham chiziqlidir.
Isbot. Shuni aytib o‘tish kerakki, chiziqli ko‘pxillilikdir. Shunday ekan ixtiyoriy sonlar va ixtiyoriy elementlar uchun
(14.3)
tenglikning to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatish yetarli. va deymiz. chiziqli bo‘lgani uchun
(14.4)
Teskari operator ta’rifiga ko‘ra,
.
Bu tengliklarni mos ravishda va sonlarga ko‘paytirib qo‘shsak,
Ikkinchi tomondan, (14.4) dan va teskari operatorning ta’rifidan
tenglik kelib chiqadi. Oxirgi ikki tenglikdan (14.3) tenglikni olamiz. ∆
14.2-teorema.(Teskari operator haqida Banax teoremasi). operator Banax fazosini Banax fazosiga biyektiv akslantiruvchi chiziqli chegaralangan operator bo‘lsin. U holda operator mavjud va chegaralangan.
Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi lemmani isbotlaymiz.
