To‘plamlar algebrasi

6- teorema (birlashmaga nisbatan distributivlik qonuni). Ixtiyoriy A , В va С to'plamlar uchun tenglik о‘rinlidir.
Isbot. to'plamning ixtiyoriy x elementini qaraymiz.
Birlashmaning ta’rifiga ko'ra yoki bo'ladi. Kesishmaning ta’rifiga ko'ra munosabatdan va ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun yoki va (shu bilan birga) yoki . Birlashmaning ta’rifiga asosan va . Demak, kesishmaning ta’rifiga ko'ra, bo'lishi kelib chiqadi.
Endi to'plamning ixtiyoriy x elementini qaraymiz. Kesishmaning ta’rifiga ko'ra va bo'ladi. U holda, birlashmaning ta ’rifiga asosan, yoki va (shu bilan birga) yoki bo'lishi kelib chiqadi. Demak, yoki x element В va С to'plamlarga tegishlidir. Shuning uchun, kesishmaning ta’rifiga ko'ra, yoki . Birlashmaning ta’rifiga asosan bo'ladi. ■
Zarur mulohazalar yuritib, birlashmaga nisbatan distributivlik qonunini quyidagicha umumlashtirish mumkin.
Ixtiyoriy to’plamlar uchun tenglik o'rinlidir.
7- teorema (kesishmaga nisbatan distributivlik qonuni). Ixtiyoriy A , В va С to 'plamlar uchun tenglik о‘rinlidir.
Isbot. to'plamning ixtiyoriy elementi x bo'lsin. U holda, kesishmaning ta’rifiga asosan, va bo'ladi. Birlashmaning ta’rifiga ko'ra munosabatdan yoki ekanligi kelib chiqadi. Demak, va yoki va . Bu yerdan esa yoki ekanligi kelib chiqadi. Birlashmaning ta’rifiga ko'ra oxirgi mulohazadan bo'lishini aniqlaymiz.
Endi to‘plamning ixtiyoriy elementi x bo‘lsin.
Birlashmaning ta’rifiga ko‘ra yoki bo'ladi. Bu yerdan, kesishmaning ta ’rifiga asosan, va yoki va bo'lishi kelib chiqadi.
Demak, va (shu bilan birga) yoki . Shuning uchun, va (birlashmaning ta ’rifiga ko'ra) . Bu yerdan, kesishmaning ta’rifiga asosan, .■
Zarur mulohazalar yuritib kesishmaga nisbatan distributivlik qonunini
quyidagicha umumlashtirish mumkin: Ixtiyoriy to'plamlar uchun
tenglik o'rinlidir.