To‘plamlar algebrasi

8- teorema . U universal to ‘plamning ixtiyoriy A va В qism to‘plamlari uchun tenglik о'rinlidir.

Isbot. A va В to'plamlar U universal to‘plamning ixtiyoriy qism to'plamlari bo'lsin. Teoremani isbotlashda 1- shakldan foydalanamiz. Shaklda U universal to'plam to'g'ri to'rtburchak ko'rinishda, A va В to'plamlar esa doiralar sifatida tasvirlangan. 1-a shakldagi U to'plamning bo'yalmagan qismi to'plamga, bo'yalgan qismi esa to'plamga mos keladi.
to'plamning ixtiyoriy elementini x bilan belgilaymiz. To'ldiruvchi to'plamning ta’rifiga ko'ra, va , y a’ni U to'plamning x elementi, bir vaqtning o'zida, ham A to'plamning, ham В to'plamning elementi bo'la olmaydi. Bu yerda uchta hol bor:
1) ( 1-b shakl); 2) ( 1-d shakl);
3) va (1-e shakl). _ _
1) holda , 2) holda , 3) holda esa va bo'ladi. Birlashmaning ta’rifiga ko'ra . ■
Endi to'plamning ixtiyoriy elementi x bo'lsin. Bu holda yoki . Bu natijadan yoki b o 'lishi kelib chiqadi. Shuning uchun va . Demak, .
9- t e o r e m a . U universal to'plamning ixtiyoriy A va В qism to‘plamlari uchun tenglik о‘rinlidir.
Isbot. A va В to'plamlar U universal to'plamning ixtiyoriy qism to'plamlari bo'lsin.
to'plamning ixtiyoriy elementini x bilan belgilaymiz. x element 1-e shaklda to'g'ri to'rtburchakning bo'yalgan qismida yotadi. munosabatdan va bo'lishi kelib chiqadi. munosabat va birlashmaning ta’rifiga asosan, x clement A to'plam ga ham (1-b shaklga qarang), В to'plam ga ham (1-d shaklga qarang) tegishli emas, y a’ni , va . Bu yerdan
va munosabatlar o'rinliligini topamiz. Shunday qilib, kesishmaning te’rifiga asosan, .
Endi to'plamning ixtiyoriy elementi_x bo'lsin. Bu holda, kesishmaning ta’rifiga binoan, va bo'ladi. Bu yerdan, to'ldiruvchi to'plamning ta’rifiga ko'ra, va bo'lishini topamiz. Demak, qaralayotgan x element bir vaqtning o'zida A to'plam ga ham, В to'plam ga ham tegishli emas. Shuning uchun,
birlashmaning ta ’rifiga ko'ra, b o 'ladi. Shunday qilib, to'ldiruvchi to'plamning ta’rifiga asosan, . Yuqorida isbotlangan 8- va 9- teoremalardagi va tengliklar de Morgan qonunlari deb yuritiladi.