To‘plamlar nazariyasi

To'plamlamning aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar.
XX asming boshiga kelib, Kantorning matematikani standartlashtirish bo'yicha dasturining asosi bo'lgan va “to'plamlaming sodda nazariyasi” deb ham ataluvchi to'plamlar nazariyasi mukammal emasligi ma’lum bo'ldi. To'plamlarning sodda nazariyasini o'rganish jarayonida Rassel paradoksga kelib qoldi. Kantorning to'plamlar nazariyasi ichki ziddiyatga ega ekanligi Rassel paradoksi sifatida ifodalangan.
Rassel paradoksi. Faraz qilaylik, К - o'zini element sifatida o'zida saqlamagan barcha to'plamlar to'plami bo'lsin. U holda, К - o'zini element sifatida saqlaydimi? Agar bu savolga “ha” deb javob berilsa, К to'plamning aniqlanishiga ko'ra, u К ning elementi bo'lmasligi kerak -ziddiyat. Agar “yo'q ” deb javob berilsa, yana К to'plamning aniqlanishiga ko'ra, u to'plam sifatida К ning elementi bo'lishi kerak - yana ziddiyat.
Hozirgi zamon to'plamlar nazariyasi aksiomalar tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariya deb yuritiladi. To'plamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimini keltirish mumkin. To'plamlar nazariyasida, ko'pincha, bu tizimga tanlash aksiomasi deb ataluvchi aksiomani ham qo'shib olib, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi bilan ish ko'riladi. Bu aksiomalar tizimidan tashqari boshqa aksiomalar tizimlaridan ham foydalaniladi. Masalan, fon Neyman-Bemeyss-Gyodel
tizimi.
Quyida tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimiga kiruvchi ba’zi aksiomalarni keltiramiz.
Hajmiylik aksiomasi. Ikkita A va В to'plamlar faqat va faqat aynan bir xil elementlardan iborat bo'lsagina tengdir.
Bo'sh to'plam aksiomasi. Birorta ham elementga ega bo'lmagan to'plam, ya’ni bo‘sh to'plam mavjud. B o'sh to'plam uchun belgisi qo'llaniladi.
Juftlik aksiomasi. Ixtiyoriy Ava В to'plam lar uchun shunday С to'plam mavjudki, bu to'plam elementlari faqat A va В to'plamlardan iboratdir (ya’ni, A va В to'plamlar С ning yagona elementlaridir). С to'plam {A,B} ko'rinishda belgilanadi. Ushbu {A,B} ifoda A va В ning tartiblanmagan juftligi deb yuritiladi. Agar A va В to'plamlar teng bo'lsa, u holda С bitta elementdan iboratdir.
Tanlash aksiomasi. Bo'sh bo'lmagan va o'zaro kesishmaydigan to'plamlar majmuasidagi har bir to'plam dan bittadan “vakil”-element tanlab, shu elementlar to'plami C ni tuzish mumkin. X to'plam shu majmuaning qanday elementi bo'lishidan qat’i nazar X va С to'plamlar faqatgina bitta umumiy elementga ega bo'ladi.
Albatta, bu aksiomalar (shu jumladan, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimining boshqa aksiomalari ham) bizga o'z-o'zidan oydin bo'lgan tasdiqlarga o'xshab tuyuladi, chunki bizning tafakkurimiz to'plamlar majmuasini chekli deb tassavvur qilishga o'rgangan. To'plamlar majmuasi chekli bo'lgan holda, masalan, tanlash aksiomasini tushunish qiyin emas. Tanlash aksiomasi cheksiz to'plamlar uchun qo'llansa, ba’zan, tortishuvlarga sabab bo'luvchi juda qiziq tasdiqlar vujudga keladi. Bu fikrni tasdiqlash maqsadida Banax-Tarskiy paradoksi (shaming ikkilanishi) va Xausdorf paradoksi mavjudligini ta’kidlaymiz.
Yuqorida keltirilgan aksiomalardan, jumladan, hajmiylik aksiomasidan, to'plamlar bo'yicha ko'plab tasdiqlami isbotlashda foydalanamiz.
Hajmiylik aksiomasini boshqacha ifodalash ham mumkin. A to'plamning har bir elementi В to'plamda ham mavjud va, aksincha, В to'plamning har bir elementi A to'plamda ham mavjud bo'lsa, u holda A va В to'plamlar tengdir. A va В to'plam larning tengligini A = В yoki В = A ko'rinishda ifodalaymiz. Aslida, A = В bo'lsa, u holda A va В to'plamlar aynan bitta to'plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o'nlik sanoq tizimidagi yozuvning oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan biri bo'lgan natural sonlar to'plamini A bilan, birni qo'shganda ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to'plamini esa В bilan belgilasak, u holda A = В bo'ladi. A = В yozuv to'plamlardagi elementlarning qaysi tartibda joylashishiga bog'liq emas. Albatta, to'plamdagi elementlarni qaysi tartibda qo'yish masalasi ham dolzarbdir. A va В to'plamlar teng bo'lmasa, u holda bu holda yoki ko'rinishda ifodalanadi.
To'plamlar nazariyasida quvvat eng muhim tushunchalardan biri bo'lib, u to'plamlarni taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To'plamning quvvati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo'lishiga qarab ta’riflanadi. Quvvat tushunchasi to'g'risida batafsil ma’lumotni to'plamlar nazariyasiga bag'ishlangan manbalardan topish mumkin. Diskret matematikada, asosan, chekli to'plamlar bilan ish ko'riladi. Shu sababli, to'plamning quvvati tushunchasini faqat chekli to'plamlar uchun keitirish bilan chegaralanamiz.