Toʻplamlar ustida amallar reja: kirish

TO'LDIRUVCHI TO'PLAM OSTI TUSHUNCHASI VA UNING XOSSALARI.
Ta'rif: B to'plam A to'plamning to'plam ostisi bo'lsin.A
to'plamining B ga kirmaydigan elementlar to'plamiga B to'plamini A to'plamiga to'ldiruvchi to'plam ostisi deb aytiladi va B’_A belgilanadi. A-biror sinfdagi o'quvchilar to'plami , B- shu sinfdagi qizlar to'plami bo'lsin B’_A -shu sinfdagi o'g'il bolalar to'plamidan iborat bo'ladi. B’_A - to'ldiruvchi to'plam osti Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlanadi:
Xossalari:
1°(A u B)'=A' n B'
2°(a n b)'=A' u B'
Xossalarning isbotlari o’quvchilarga mustaqil beriladi.
TO'PLAMLARNI O'ZARO KESISHMAYDIGAN SINFLARGA AJRATISH
To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasi matematikada, jumladan, boshlang'ich sinf darsliklarida ham o'z ahamiyatiga ega Bu tushunchaga ta'rif berishdan oldin quyidagi misollarni tahlil qilamiz:
N-natural sonlar to'plami
A-juft natural sonlar to'plami B- toq natural sonlar to'plami bo'lsin.
Ma'lumki, natural sonlar toq va juft natural sonlarga bo'linadi.Bundan kelib chiqadiki, A ^ N va B ^ N.
To'plamlarni o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish tushunchasiga nafaqat matematikada, balki hayotda ham ko'plab misollar keltirish mumkin. Masalan: Yer yuzi xalqlarini qanday belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin? Yer yuzi aholisini biror to'plam sifatida qarasak, ularni quyidagi belgilariga ko'ra sinflarga ajratish mumkin:
-irqlariga ko'ra;
-tillariga ko'ra;
-jinslariga ko'ra va hokazo.
TA'RIF: Berilgan M to'plam o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajratilgan deb aytiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
1) Hech biror to'plam osti bo'sh bo'lmasa, ya'ni Mi^ 0 bunda i=( 1,... ,k) 2) Istalgan ikkita to'plam osti umumiy elementga ega bo'lmasa, ya'ni Mi ^ Mj =0, i^j
3)Barcha to'plam ostilari birlashganda M to'plamni tashkil etsa, ya'ni M₁ U M₂ U M₃ U ....U M_k = M
Agar berilgan to'plamning har bir elementi bitta va faqat bitta qism to'plamga tushsa, hamma ajratilgan qism to'plamlar birlashmasi butun to'plam bilan mos tushsa, u holda berilan to'plam kesishmaydigan qism to'plamlarga ajratilgan deyiladi.
Agar 1) X₁,X₂ ,...,X_n qism to'plamlar juft-jufti bilan o'zaro kesishmasa; 2) X₁ , X₂ ,...,X_n qism to'plamlarning birlashmasi X to'plam bilan mos tushsa, X to'plam X₁, X₂ ,...,X_n sinflarga ajratilgan hisoblanadi.
Masalan, Uchburchaklarning X to'plamini uchta sinfga ajratish mumkin: O'tkir burchakli, o'tmas burchakli, to'g'ri burchakli
uchburchaklar. Haqiqatdan ham ajratilgan qism to'plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va ularning birlashmasi X to'plamni tashkil etadi.
a) To'plamni unda berilgan 1,2 va 3 ta xossasiga ko'ra sinflarga ajratish mumkin. Buni quyidagi misollarda ko'ramiz:
M- natural sonlar to'plamida "3 ga bo'linish" xossasi berilgan bo'lsin. Bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi. A₁- 3ga bo'linadigan sonlar to'plami A₂- 3 ga bo'linmaydigan sonlar to'plami.
Bu to'plamlar to'plamni sinflarga bo'lish ta'rifidagi shartlarni qanoatlantiradi, ya'ni

1. 
   Ai^ 0;A₂^ 0
   
2. 
   Ai^ A₂ =0
   
3. 
   A1UA2=N
   

Demak, agar to'plamda elementlarning biror xossasi berilgan bo'lsa, bu xossaga ko'ra to'plam ikkita o'zaro kesishmaydigan sinflarga bo'linadi.
b) To'plam elementlarining ikkita xossasiga ko'ra uni sinflarga bo'lish. Quyidagi misolni qaraymiz.
1) M-uchburchaklar to'plamini " teng yonli bo'lish" va "to'g'ri burchakli bo'lish" xossasiga ko'ra qanday sinflarga ajratish mumkin?
Bu xossalarni qanoatlantiruvchi to'plamlarni Eyler-Venn diagrammasida tasvirlaylik, natijada quyidagi sinflar hosil bo'ladi:

1. 
   teng yonli,to'g'ri burchak bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
2. 
   to'g'ri burchakli,teng yonli bo'lmagan uchburchaklar to'plami;
   
3. 
   teng yonli va to'g'ri burchakli uchburchaklar to'plami;
   
4. 
   teng yonli ham emas, to'g'ri burchakli ham bo'lmagan uchbur­chaklar to'plami.
   

2-Misol:Natural sonlar to'plami elementlari uchun " 2 ga karrali" va "5 ga karrali"xossalari berilgan.Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami qanday sinflarga ajraladi? " 2ga karrali" va "5 ga karrali" xossalariga natural sonlar to'plami quyidagi 4 ta sinfga ajraladi:

1. 
   - 2 ga karrali, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
2. 
   - 5ga karrali, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar to'plami.
   
3. 
   -5 ga va 2 ga karrali bo'lgan natural sonlar to'plami.
   
4. 
   -5 ga ham 2 ga ham karrali bo'lmagan natural sonlar to'plami.
   

3. 
   -Misol: Uchburchaklar to'plami elementlari orasida quyidagi 2 ta xossa berilgan:" O'tkir burchakli bo'lish", "O'tmas burchakli bo'lish", shu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami qanday sinflarga bo'linadi?
   

Bu xossalarga ko'ra uchburchaklar to'plami 3 ta

1. 
   o'tkir burchakli uchburchaklar
   
2. 
   o'tmas burchakli uchburchaklar
   

c ) o'tkir va o'tmas burchakli bo'lmagan uchburchaklar to'plamiga ajraladi.

3. 
   -misol:Natural sonlar to'plamida 3 ta xossa:"2ga karrali"; "3 ga karrali";" 5ga karrali" bo'lish xosalari berilgan bo'lsa, to'plam qanday to'plam ostilarga ajraladi?
   

Bu xossalarga ko'ra natural sonlar to'plami 8 ta o'zaro kesishmaydigan to'plam ostilarga ajraladi:
A -to'plam deb 2 ga karrali sonlar to'plamini, B to'plam deb 3 ga karrali sonlar to'plamini , C to'plam deb 5 ga karrali sonlar to'plamini olsak, u holda ular juft-juftlari bilan kesishib quyidagi 8 ta o'zaro kesishmaydigan sinflarga ajraladi:

1. 
   2 ga ,3 ga,5 ga karrali bo'lgan sonlar.
   
2. 
   2 ga,3 ga karrali bo'lib, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
3. 
   3 ga,5 ga karrali bo'lib, 2 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
4. 
   2 ga, 5 ga karrali bo'lib, 3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
5. 
   2ga karrali bo'lib, 3 ga, 5 ga karrali bo'lmagan sonlar
   
6. 
   3 ga karrali bo'lib, 2 ga,5 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
7. 
   5 ga karrali bo'lib, 2 ga ,3 ga karrali bo'lmagan sonlar.
   
8. 
   2 ga,3ga, 5ga karrali bo'lmagan sonlar.
   

To'plamlarni sinflarga ajratish tushunchasi haqida boshlang'ich sinf
o'quvchilariga ham ma'lumot berish mumkin: Masalan, o’zbek
alifbosidagi harflar to'plami unli va undosh sinflarga ajraladi.
Unli va undosh harflar birlashib, alfavitni tashkil qiladi. Boshlang'ich sinf matematika kursida to'plamlarni sinflarga ajratish bo'yicha misollar keltiring.

Xulosa
To'plamlar katta lotin alifbosi harflari A,B,C,D...bilan, to'plam elementlari esa kichik lotin harflari a,b,c... bilan belgilanadi. "Tegishli"
so'zi ^£ belgi bilan, "tegishli emas" so'zi esa ^£ belgi bilan almashtiriladi. Agar "a ob'ekt biror A to'plamning elementi" bo'lsa, uni quyidagicha belgilaymiz: a^£A. Bu yozuv quyidagicha o'qiladi: "a element A to'plamga tegishli".
Agar "a element Ato'plamga tegishli emas" bo'lsa, quyidagicha yoziladi.
a^£ A .
Misol, agar A- juft natural sonlar to'plami bo'lsa, quyidagi misollar to'g'ri bo'ladi:
16£A; 328£A; 17 ^£ A ; 11 ^£ A.
Elementlari soniga qarab to'plamlar chekli va cheksiz to'plamlarga bo'linadi. Elementlar soni chekli bo'lsa,- chekli to'plam, elementlari soni cheksiz bo'lsa, cheksiz to'plam deb aytiladi.

1. 
   kursda o'rganiladigan predmetlar to'plami, auditoriyadagi talabalar to'plami, soch tolalari to'plami- chekli to'plam; doira ustidagi nuqtalar to'plami, natural sonlar to'plami - cheksiz to'plamga misol bo'ladi.
   

To'plam bitta elementdan iborat bo'lishi ham mumkin. Masalan "nur" so'zidagi unli harflar to'plami. Bu to'plam 1 ta elementdan, ya'ni "u" harfidan iborat.
Agar , to'plamning birorta ham elementi bo'lmasa, bunday to'plam bo'sh to'plam deyiladi. Bo'sh to'plam 0 deb belgilanadi.Masalan, oydagi odamlar to'plami, uchburchakdagi diagonallar to'plami, x +1=0 tenglama haqiqiy ildizlari to'plami bo’sh to’plamdir.
To'plamning elementlari to'plamlar ham bo'lishi mumkin. Masalan, maktabdagi sinflar to'plami. Bu to'plam elementlari bo'lgan sinflar o'z navbatida o'quvchilar to'plamidir. Lekin o'quvchilar maktabdagi sinflar to'plamining elementlari bo'lmaydi.