Transport vositalari muhandisligi

d\n(L(x,e))
dd
Bundan
0 = - ^ - = 4 .
±x, x
=- ~ < Q bo‘lgani uchun в = baho 6 =a
6 2 X
d l In(1(jc,0)) ( n ^
d92 ‘ l 02/ .
parametming bahosi bo‘ladi. О
7-misol. Puasson taqsimotiga ega X tasodifiy miqdor A parametrining
bahosini eng kichik kvadratlar usuli bilan toping.
® F(0) = ’ZiX, - &f funksiyani minimumga tekshiramiz:
m = ( s № - ^ )
Bundan
= 'ZHXl - 0 ) ( - l ) = O.
£ , Х , - п в = 0 yoki в = - ± Х , = Х.
i1=1 Пi-i
79

F"{6) =( - 2 ^ 0 ]	= -2 £ (-l) = 2n>0 bo'lgani uchun в - X baho в = X
parametrning bahosi bo'ladi. О
1.9.3.	0-nom a’lum parametr, 0l,02- x l,x1,...,x„ tanlanma elementlari
ning ikkita funksiyasi bo'lsin, bu yerda 0, <02. Agar P(<9, < в < в г) =у tenglik bajarilsa (0.;02)intervalga в parametrning
ishonchli intervali deyiladi.	Bunda 0, va вг qiymatlarga ishonchli

intervalning quyi va yuqori chegarasi, у ga ishonchli ehtim ol deyiladi.
Agar ishonchli interval § nuqtaviy bahoga nisbatan simmetrik tanlansa,
ya’ni bu interval ф - е \ в + е ) bo'lsa, Р(\в -в\<е) =у bo'ladi. Bunda £>0
son bahoning aniqlik ko'rsatkichi bo'ladi.
Ishonchli interval uchun у ishonchli ehtimol oldindan beriladi. Uning
qiymati yechilayotgan masalaning mohiyatiga bog'liq bo'ladi. Odatda
у sifatida birga yaqin bo'lgan qiymatlar, masalan, 0,95, 0,99, 0,999 olinadi.
Ishonchli ilntervalning chegaralarini ifodalovchi 9X va вг sonlar bilan
aniqlanadigan baho intervalli baho deyiladi.
Matematik kutilish uchun intervalli baholar

X	belgili ava а г parametrli normal taqsimlangan tanlanma berilgan
bo'lsin. Bunda / -berilgan. a param etr m a ’lum bo 'Igan holda ( X -	X + - ^ i interval a = M(X) -JnJ	V/J
^
noma’lum parametr uchun у ishonchlilik bilan ishonchli interval bo'ladi. Y • t& Bunda t kattalik Ф(?) = — tenglikdan 2 -ilova asosida topiladi; e = —j= katta-
2	л/и

lik bahoning aniqligini belgilaydi.
a = M(X) noma’lum parametr uchun у ishonchlilik bilan ishonchli interval
bo'ladi. Bunda ■tr kattalik Styudent kreteriyasi qiymatlari jadvali (4-ilova)
a param etr noma ’lum bo 'Igan holda
t s
asosida topiladi; e = -j= kattalik bahoning aniqligini belgilaydi.
n
80
8-misol. X belgili tanlanma X tasodifiy miqdor ustida 5 ta kuzatish o ‘tkazilgan va x, =-25, хг =34,
xx= -20, л, = 10, xs= 21 natijaga erishilgan. y =0,95 ishonchlilik bilan a parametr uchun ishonchli intervalni toping.
jfni topamiz:
X = -(-2 5+ 3 4-2 0+ 10+ 21) = 4.
5
У 0 95
Ф(/) = - = -y-.= 0,475 uchun 2-ilovadagi jadvaldan topamiz: t = 1,96.
, u , , ta 1,96-20
U holda E = -r== — = 17,5.
V5
a parametr uchun ishonchli intervalni aniqlaymiz:
(4-17,5;4 + 17,5) yoki (-13,5;21,5). О
9-misol. Jamg‘arma bozori ayrim aksiyalarining daromadliligi
o‘rganilmoqda. 15 kunda tasodifiy tanlanma o‘rtacha kvadratik og‘ishi
S = 3,5%, o‘rtacha (yillik) daromadlilik X = 10,37% ga teng ekani kuzatildi.
Aksiyalaming daromadliligi normal taqsimot qonuniga bo‘ysunadi.
0 ‘rganilayotgan aksiyalar uchun 95% li ishonchli intervalni toping.
® Bosh to‘plam o‘rtacha kvadratik chetlashishi a noma’lum.
Shusababli л= 15, y = 0,95 uchun 4-ilovadagi jadvaldan topamiz:
/fo r) = /(15;0,95) = 2,15.
U holda
X ± = 10,37 ± 2,1 ^_3’5 = 10,37 ± 1,94.
■JN л/15
Bundan (8,43;12,31).
Demak, o‘rganilayotgan aksiyalaming haqiqiy daromadliligi
0,95 ishonchlilik bilan (8,43;12,31) intervalda yotadi. О
0 ‘rtacha kvadratik chetlashish uchun intervalli baholar
X belgili ava cr2 parametrli normal taqsimlangan tanlanma berilgan
bo‘lsin. Bunda a,cr-nom a’lum, /-berilgan.

a	noma’lum parametming у ehtimolli ishonchli intervalini topish
uchun awal tanlanmaning qiymatlari bo'yicha erkinlik darajasi «-lboig an
X1 taqsimotli	х г =	tasodifiy miqdoming (X,\X2) intervalga

81

jn — i In - 1 1 P S I- J ----- —- < a < S I- < a < S . I ------ —- j - , I = у tushishi ehtimoli	(л -1 / п- 1 , , \ X, v X,	va
v V X,	\ X2 J

qiymatlaming jadvallari (5-ilova) asosida q = q(y,n) topiladi.
Keyin a noma’lum parametr uchun у ishonchlilik bilan ishonchli
interval
S(1 — q ) < a < S(1 + q), agar q < 1 bo‘lsa,
0q> 1 bo‘lsa
tengsizliklardan aniqlanadi.
10-misol. Biror kattalik bitta asbob yordamida sistematik xatolarsiz
10 marta o‘lchangan bo'lib, bunda o'lchashlardagi tasodifiy xatolaming o'rta
kvadratik chetlashishi 0,6 ga teng chiqqan. Asbob aniqligini 0,95 ishonchlilik
bilan toping.
® 5 - ilovadagi jadvaldan va / = 0,95ga mos qn\ topamiz:
q = q(10;0,95) = 0,65.
U holda
0,6(1 - 0,65) < a < 0,6(1 + 0,65)
yoki
0,21 < a < 0,99. О
Mashqlar
1.9.1. Hajmi 70 ga teng bo'lgan tanlanmaning statistik taqsimoti
berilgan:
X, 1 4 9 20
ni 16 20 22 12
- 2 6 10 18
22 15 23 10
Bosh o'rtacha qiymatning siljimagan bahosini toping.

1.9.2.	Hajmi 60 ga teng bo'lgan tanlanma bo'yicha dispersiyanin
siljigan bahosi topilgan:	1) D = 8,26;	2) D = 7,67.

Bosh to'plam dispersiyasining siljimagan bahosini toping.
1.9.3: Bosh to'plamdan olingan o'rta qiymat Л parametrli Puasson
taqsimoti uchun siljimagan baho bo'lishini ko'rsating.
82
1.9.4. Bosh to‘plamdan olingan o‘rta qiymat Л parametrli Puasson
taqsimoti uchun asosli baho bo‘lishini ko‘rsating.
1.9.5.^Bosh to‘.pIamning o'rtachasi X =1,03 ga va o‘rtacha kvadratik
chetlashishi 400ga teng. Bosh to'plamdan hajmi 100 ga teng bo‘lgan
tanlanma olingan. Tanlanmaning o‘rtachasi X uchun kutilayotgan qiymatni
va o‘rtacha kvadratik chetlashishni toping.
1.9.6. Bosh to‘plamning o‘rtachasi X = 22,5 ga va o‘rtacha kvadratik
chetlashishi cr = 16 ga teng. Bosh to‘plamdan hajmi 200 ga teng bo‘lgan
tanlanma olingan. Tanlanmaning o‘rtachasi X uchun kutilayotgan qiymatni
va o‘rtacha kvadratik chetlashishni toping.
1.9.7. Do‘konga kirgan xaridoming do'konda bo‘lishi vaqti o‘rta
hisobda 14 daqiqaga, uning o'rtacha kvadratik chetlashishi 4 daqiqaga teng.
Tavakkaliga tanlangan 6 ta xaridoming kamida 12 daqiqa do‘konda bo‘lishi
ehtimolini toping.
1.9.8. Do‘konda bir kunda o‘rtacha 1000 ta kitob sotiladi. Bir kunlik
o‘rtacha savdo hajmining o‘rtacha kvadratik chetlashishi 100 ga teng bo‘lsa,
to‘rt kunlik savdoning o‘rtacha 900 va 1100 dona kitob orasida bo‘lishi
ehtimolini toping.
1.9.9. Bemulli sxemasidagi noma’lum natija ehtimolini momentlar
usuli bilan toping.
1.9.10. Tekis taqsimotga ega X tasodifiy miqdor a va b parametrlarining bahosini momentlar usuli bilan toping.
1.9.11. Puasson taqsimotiga ega X tasodifiy miqdor Я parametrining
bahosini maksimal ishonchlilik usuli bilan toping.
1.9.12. Tanga 10 marta tashlanganda 6 marta gerb tomon tushdi. Gerb
tomon tushishi ehtimolini maksimal ishonchlilik usuli bilan baholang.
1.9.13. Bosh to'plamning normal taqsimlangan X belgisining noma’lum
matematik kutilishi a ni 0,99 ishonchlilik bilan baholash uchun ishonchli
intervalni toping. Bosh o'rtacha kvadratik chetlashish cr, tanlanmaning o‘rta
qiymati X va tanlanmaning hajmi n berilgan:
1) a = 5, X = 16,3, n = 25; 2) cr = 4, X = 12,4, и= 16;
3) cr = 3, J=10,l, n = 9; 4) a = 6, Z = 14,5, « = 36.
83
1.9.14. Audit tekshiruvchi tavakkaliga 50 ta to‘lov hisoblarini tahlil
qilib, ulaming o'rtacha miqdori 1100 so‘mga va o'rtacha kvadratik
chetlashishi 287 so'mga tengligini aniqladi. 0 ‘rtacha to‘lov hisoblari
uchun 90% li ishonchli intervalni toping.
1.9.15. Normal taqsimlangan bosh to‘plamning o‘rtacha kvadratik
chetlashish cr = 3 ga teng. Bosh to'plamning tanlanma o‘rta qiymat bo‘yicha
matematik kutilishi bahosining aniqligi s = 0,2 boisa, tanlanmaning minimal
hajmini 0,95 ishonchlilik bilan aniqlang.
1.9.16. Normal taqsimlangan bosh to‘plamning o‘rtacha kvadratik
chetlashish matematik kutilishi bahosining aniqligi £ = 0,4 katta boimasa, tanlanmaning
minimal hajmini 0,9 ishonchlilik bilan aniqlang.
1.9.17. Bosh to‘plamdan n= 16 hajmli tanlanma olingan:
-1 1 3 5
ni 6 2 2 6
x, - 2 2 4 6
nk 5 4 4 3
Bosh to‘plamning normal taqsimlangan X belgisining noma’lum
matematik kutilishini o‘rtacha qiymati 0,95 ishonchlilik bilan ishonchli
interval yordamida baholang.
1.9.18. Biror fizik kattalikni bir xil aniqlikda 16 marta o‘lchash
ma’lumotlari bo‘yicha o‘lchash natijalarining o‘rtacha arifmetik qiymati
X = 42,8 va tuzatilgan o‘rtacha kvadratik chetlashshi j = 8 topilgan.
0 ‘lchanayotgan kattalikning haqiqiy qiymatini 0,999 ishonchlilik bilan
baholang.
1.9.19. Bir xil aniqlikdagi 15 ta o‘lchash bo‘yicha o‘rtacha kvadratik
chetlashish aniqlangan: 1)5 = 0,12; 2) S = 0,16; 3 )5 = 0,24; 4 )5 = 0,19.
0 ‘lchash aniqligini 0,99 ishonchlilik bilan toping.
1.9.20. Biror fizik kattalik bitta asbob bilan (sistematik xatolarsiz)
8 marta o‘lchangan. Bunda o'lchash tasodifiy xatolaming o‘rtacha kvadratik
chetlashshi s = 0,25 bo‘lib chiqdi. Asbob aniqligini 0,99 ishonchlilik bilan
aniqlang.