Tuzuvchilar: V. Jo`Rayev

TO`PLAM HAQIDA TUSHUNCHALAR

To`plam eng muhim matematik tushunchalardan biridir. Bu tushuncha matematika faniga to`plamlar nazariyasining asoschisi bo`lgan nemis matematigi Georg Kantor (1845- 1918) tomonidan kiritilgan.

To`plam tushunchasi matematikaning boshlang‘ich (ta’riflanmaydigan) tushunchalari- dan biridir. U chekli yoki cheksiz ko`p obyektlar (narsalar, buyumlar, shaxslar va h.k.) ni birgalikda bir butun deb qarash natijasida vujudga keladi.

To`plamlar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan, uning elementlari esa shu

alifboning kichik harflari bilan belgilanadi.

Masalan:

bildiradi.

A _a,b,c,d_

yozuvi A to`plam a, b, c, d elementlardan tashkil topganligini

x element X to`plamga tegishli ekanligi x  X

ko`rinishda, tegishli emasligi esa

x  X ko`rinishda belgilanadi.

Masalan: barcha natural sonlar to`plami N va 4, 5, ³ ,  sonlari uchun 4 N , 5 N ,

4

³  N ,   N

4

munosabatlar o`rinli.

Elementlari soniga bog‘liq holda to`plamlar chekli va cheksiz to`plamlarga

ajratiladi. Elementlari soni chekli bo`lgan to`plam chekli to`plam, elementlari soni cheksiz bo`lgan to`plam cheksiz to`plam deyiladi.

Misol: A _x x  N, x²  7_ to`plam 2 dan katta bo`lgan barcha natural sonlardan

tuzilgan, ya’ni

^{A }^{3,4,5,6,7,...}^{. Bu to`plam – cheksiz to`plamdir.}

Birorta ham elementga ega bo`lmagan to`plam bo`sh to`plam deyiladi. Bo`sh to`plam

 orqali belgilanadi. Bo`sh to`plam ham chekli to`plam hisoblanadi.

Misol:

x²  3x  2  0

tenglamaning ildizlari

X _2;1_

chekli to`plamni tashkil

etadi.

x²  3x  3  0 tenglama esa haqiqiy ildizlarga ega emas, ya’ni uning haqiqiy

yechimlar to`plami  dir.

Ayni bir xil elementlardan tuzilgan to`plamlar teng to`plamlar deyiladi.

^{Misol: X }^{x x  N, x  3} ^{va Y }_^x  ^{x 1} ^{x  2} ^{x  3} ^{ 0}_ ^{to`plamlarning har biri}

faqat 1, 2, 3 sonlaridan tuzilgan. Shuninguchun bu to`plamlar tengdir: X  Y

QISM TO`PLAM VA UNIVERSAL TO`PLAMLAR

Agar B to`plamning har bir elementi A to`plamning ham elementi bo`lsa, B to`plam

A to`plamning qism to`plami deyiladi va B  A ko`rinishida belgilanadi. Ta’rifga ko`ra,

istalgan to`plam o`zining qism to`plami bo`ladi: A  A bo`sh to`plam esa, istalgan

to`plamning qism to`plami bo`ladi

 A.

Qism to`plamlar ikki turga bo`linadi: xos va xosmas qism to`plamlar. To`plamning o`zi va bo`sh to`plam xosmas qism to`plam deyiladi. Ularda boshqa qism to`plamlar xos qism

to`plam deyiladi.

Masalan:

A _a, b, c_ to`plamning xos qism to`plamlari: _a_, _b_ , _c_, _a, b_, _a, c_,

_b, c_; xosmas qism to`plamlari: _a, b, c_ va  dir.

Agar

A₁, A₂ , ... ,A_n

to`plamlar A to`plamning qism to`plami bo`lsa, A to`plam

A₁, A₂ , ... ,A_n

to`plamlar uchun universal to`plam deyiladi.

Universal to`plam, odatda, J yoki U harfilari bilan belgilanadi. Masalan, N -barcha natural sonlar to`plami; Z -barcha butun sonlar to`plami; Q -barcha ratsional sonlar to`plami;

R -barcha haqiqiy sonlar to`plami bo`lib, N  Z  Q  R

sonli to`plamlar uchun universal to`plam vazifasini bajaradi.

shartlar bajariladi va R qolgan

A to`plamning to`ldiruvchisi deb U universal to`plamning A ga tegishli bo`lmagan barcha elementlari to`plamiga aytiladi va quyidagicha belgilanadi A^ .

Masalan:

U  _1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8_

universal to`plam bo`lsa,

A  _1, 3, 5, 7, 8_

to`plamning to`ldiruvchisi

^{A }^{2, 4, 6} ^{to`plam bo`ladi.}

1. 
   A
   
2. 
   A
   

To`ldiruvchi to`plam quyidagi xossalarga ega:

3. n_ A_  n_ A^_  n_U _

ya’ni A va A^ to`plamlar umumiy elementlarga ega emas hamda ularni tashkil qilgan barcha elementlar U ni hosil qiladi.

TO`PLAMLAR USTIDA AMALLAR

To`plamlar orasidagi munosabatlarni yaqqolroq tasavvur qilish uchun Eyler–Venn diagrammasidan foydalaniladi. Bunda to`plamlar doira, oval yoki biror yopiq soha shaklida, universal to`plam esa, odatda, to`g`ri to`rtburchak shaklida tasvirlanadi.