U dalaboyev vektor va tenzor

---

0 ‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA 0 ‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
U. DALABOYEV
VEKTOR VA TENZOR
TAHLIL
0 ‘zbekiston Respublikasi Oiiy va o‘rta maxsus ta’lim
vazirligi tomonidan 5140200 - «Fizika» va 5140400 -
«Astronomiya» yo‘nalish!ari talabalari uchun darslik sifatida
tavsiya etilgan
TOSHKENT - 2015
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

UO‘K: 514.742|
KBK30.3
I
-UBOT
4)«8T" 
U.Dalaboyev. Vektor va tenzor tahlil. -T.: «Fan va
texnologiya», 2015,160 bet.
ISBN 978-9943-990-94-4
«Vektor va tenzor tahli!» darsligi oliy o ‘quv yurtlarining fizika va 
astronomiya yo‘nalishlari bo‘yicha bakalavrlar tayyorlash uchun bu 
fanning tasdiqlangan namunaviy o‘quv dasturi asosida yaratilgan.
Darslikda vektor va tenzor tahlili kursiga oid asosiy tushuncha va 
tasdiqlar yoritilgan bo‘lib, ularning fizik mazmuni va tatbiqlari 
ko‘rsatilgan. Mavzular bo‘yicha talabalar mustaqil ishi uchun topshi- 
riqlar va ulami Maple tizimida yechish texnologiyasi ham berilgan.
UO‘K: 514.742/743
KBK30.3
Taqrizchilar:
A.RasuIov - f-m.f.d., professor; 
A.Abdumalikov - f-m.f.d., professor.
ISBN 978-9943-990-94-4
© «Fan va texnologiya» nashriyoti, 2015.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Matematika g'oyat b iryuksak
fa n ki, unda bir olarn mo ‘jiza yotadi.
Mirzo Ylug‘bek.
KIRISH
Matematikani o‘rganishning bevosita amaliy tatbiqlaridan tashqari 
yosh mutaxasislami har taraflama rivojlangan komil inson qilib tarbiya- 
lashda uning alohida o'ringa ega ekanligi ta'kidlamasdan bo‘lmaydi. 
Tahliliy mulohaza, mantiqiy mushohada, fazoviy tasavvur, abstrakt 
tafakkur inson faoliyatining barcha sohasi uchun zarur qobilyatki, bular 
matematikani o'rganish jarayonida shakllanib boradi.
Matematikada o‘zgaruvchan miqdorlar tushunchasining kiritilishi 
qanday muvaffaqiyat qozongan bo‘lsa, fizikada maydon tushuncha- 
sining kiritilishi ham shunday ahamiyat kasb etgan.
Mamlakatimizning oily ta’lim muassalarida barcha yo‘nalishlar 
bo'yicha bakalavrlar > tayyorlash tizimiga o‘tilgach, fanlaming o‘quv 
rejalari va dasturlarini davlat standartiga moslash, shu bilan birga, 
halqaro ta’lim berish standartlarini qoMlash, ajdodlarimizning boy milliy 
meroslarini shu jarayonga jalb qilish zamrati tugMldi. Har bir yo‘nalish 
bir necha mutaxassisliklami o‘z ichiga olganligi sababli mamlakati- 
mizdagi barcha oliy o‘quv yurtlarida bakalavrlar tayyorlash bo‘yicha 
fanlardan umumiy o‘quv dasturi tayyorlangan.
So‘nggi yillarda oliy taMimda amalga oshirilayotgan sifat o‘zgar- 
tirishlar, jumladan «5140200 - fizika» va «5140400 - astronomiya» 
ta’lim yo‘nalishining tashkil qilinishi va muallifni ko‘p yillar mobaynida 
0 ‘zMU da vektor va tenzor tahlil kursidan olib borgan ma’ruza va 
amaliy mashg‘ulotlarida orttirgan tajribasi ushbu darslikning yozilishiga 
sabab boMdi. Bu darslik universitetlaming «Fizika va astronomiya» 
(bakalavriyat) taMirn yo‘nalishi o‘quv rejasidagi «Vektor va tenzor 
tahlili» kursi o‘quv dasturi asosida yozilgan. Darslikning koMami 
talabalaming keyingi bosqichda elektrodinamika, nazariy fizika va 
kristallografiya kabi fanlami o'rganishga zamin tayyorlaydi.
3
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Bu darslikdagi maMumotlami tushunish uchun talabalar matematik 
tahlil, vektorlar algebrasi va analitik geometriya kurslaridan kerakli 
bilimlarga ega boMishi kerak.
Ushbu darslik matematika va fizikaning muhim qismlaridan biri 
boMgan vektorlar va tenzor maydonlar tushunchasini o‘rganishga, tahlil 
qilishga bagMshlangan. Bu darslikdan fizika, matematika va texnika oliy 
taMim muassalari talabalari, aspirantlar va keng muhandislar guruhi 
foydalanishi mumkin. Undagi skalyar, vektor maydonlar va tenzorlar 
tushunchasi, ulardagi muhim matematik amallar sodda tilda bayon 
etilishiga harakat qilingan.
Dekart tomonidan koordinatalar sistemasini kiritilishi matematika 
va uning tatbiqlarida revolyusiya yasadi. Keyingi qadam vektor 
hisobning kiritilishi boMdi. Ba'zi fizik masalalami yechish uchun esa 
murakkab miqdorlar - tenzorlar kerak boMadi. Tenzor kattaliklar 
nisbiylik nazariyasi va differensial geometriyada keng qoMlaniladi. 
Tenzor miqdorlar fizik jarayon xususiyatlarini invariantlari yordamida 
aniqlashga yordam beradi. Invariantlar deb shunday bogManishlarga 
aytiladiki, ular bir sistemadan boshqasiga o‘tganda o‘zgarmaydi. Fizika 
va mexanikaning qonunlari koordinatalar sistemasini tanlashiga bogMiq 
emas. Shuning uchun biror fizik jarayonning asosiy xususiyatini 
aniqlash uchun uning koorinatalar sistemasiga bogMiq emasligini 
ko‘rsatish kerak boMadi. Fizik jarayonni ifodalovchi tenglamalarda bir 
sistemadan ikkinchisiga o‘tish zaruriyati tugMladi. Shuning uchun ham 
tenzor hisobning asosiy usulida koordinatalar sistemasini almashtirish 
yotadi. Fizik kattaliklar birliklarga ega. Fizik jarayonni ifodalovchi 
tenglamaning hadlari bir xil oMchamli boMishi kerak. Bu holat esa 
tenglama hadlarining bir xil rangli tenzor ekanligini taqozo qiladi.
Maydonlar nazariyasidagi har bir matematik amallar nazariy va 
amaliy jihatdan tushunarli holda keltirilgan. Shuning uchun talabalar va 
fizik jarayonlar bilan mashg‘ul boMgan mutaxassislar uchun ushbu 
darslik amaliy ishlariga yordam beradi.
Darslik ikki bob va ikki ilovadan tashkil topgan. Darslikning 
birunchi qismida skalyar va vektor maydonlarga oid tushunchalar, 
maydonning amallariga tegishli maMumotlar, maydon amallarining egri 
chiziqli koordinatalardagi ifodalari keltirilgan.
Tenzorga oid boMimda unga tegishli amallar to‘g‘ri dekart koor- 
dinatalar sistemasida bayon qilingan. Har bir mavzular misoliar bilan 
bayon qilingan va mustaqil ishlash uchun mashqlar berilgan.
4
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Darslikda ikkita ilova keltirilgan. Birinchi ilovada kursni o'qitishda 
zarur boMga asosiy formulalar bayon qilingan.
Hamma sohalarda matematik qonuniyatga asoslangan zamonaviy 
kompyuterlaming muvaffaqiyat bilan tatbiq etilishi hamda uning 
kundan-kunga rivojlanib borayotgani, yosh mutaxasislarning tegishli 
sohalar masalalarining matematik modellarini tuza bilishi va unda 
hisoblash texnikasini joriy etish vazifasini qo‘ymoqda. Ayniqsa, analitik 
hisoblashlami amalga oshiradigan bir qancha zamonaviy paketlar ishlab 
chiqildi (Mathematica, MathCad, Maple va h.k). Biz mustaqil ishlarni 
bajarishda informatsion texnologiyalardan unumli foydalanish va zamon 
talabiga mos keladigan niutaxassislarni tayyorlashni nazarda tutib
2- ilovada maydon amallarini Maple tizimida bajarishga oid namunalar 
bilan toMdirdik.
Har bir bob tegishli paragraflarga boMingan boMib, har bir paragraf 
mavzuga taalluqli asosiy ta'riflar, tasdiqlar, teoremalami o‘z ichiga 
oladi, shuningdek, ularning har biri an'anaviy misollami batafsil tahlil 
yordamida yechish orqali namoyish qilingan.
0 ‘ylaymizki, darslik o‘z o‘quvchilarini topadi va boshqa mavjud 
o‘quv adabiyotlari qatorida vektor va tenzor tahlil kursi bo‘yicha ularga 
bilimlarini oshirishga ko'mak beradi. Darslik haqidagi fikr mulohazalar, 
undagi mavjud kamchiliklar bo‘yicha takliflami muallif mamnuniyat 
bilan qabul qiladilar.
Muallif.
5
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Agar insoniyat tomonidan yaratilgan
ilmiy yangiliklarning matematik
isboti b o ‘lmasa uni haqiqiy
fa n qatoriga qo ‘shib bo ‘Imaydi.
Leonardo da Vinchi