Uch karrali integrallar

OSTROGRADSKIY FORMULASI
Ikki karrali integrallar nazariyasida biz tekis soha bo`yicha olingan ikki karrali integralni shu sohaning konturi bo`yicha olingan egri chiziq bilan bog`lovchi Grin formulasi bilan tanishgan edik. Uch karrali integrallar nazariyasida unga o`xshash formula Ostrogradskiy formulasidir; u fazoviy soha bo`yicha olingan uch karrali integralni uning chegarasi bo`yicha olingan sirt integrali bilan bog`laydi.
Yasovchilari o`qiga parallel bo`lgan slindrik sirt bilan va silliq

sirtlar bilan chegaralangan jismni ko`raylik. Bu yerda yo`naltiruvchi bo`lib, jismning tekisligiga proyeksiyasi bo`lgan sohani chegaralovchi (nol yuzli) bo`lakli – silliq yopiq egri chiziq xizmat qiladi
sohada biror funksiya aniqlangan bo`lib, u va uning xususiy hosilasi butun sohada (chegarasi bilan birga) uzluksiz bo`ladi. U holda
(1*)
formula o`rinli bo`ladi, bu yerda jismni chegaralovchi soha bo`lib, o`ng tomondagi integral uning tashqi tomoni bo`yicha olingan.
Darhaqiqat, (7a) formulaga binoan

Mulohazamizga sirt integrallarini kiritadigan bo`lsak,

va

Formulalarga ko`ra,

deya olamiz va bu yerda o`ng tomondagi birinchi integral sirtning yuqori, ikkinchi integral esa ning quyi tomoni bo`yicha olingan bo`ladi. Bu tenglik, uning o`ng tomoniga sirtning tashqari tomoni bo`yicha olingan integral

nolga teng, integralni qo`shish bilan buzilmaydi. Uchala sirt integralini jamlab, (1*) formulani hosil qilamiz. U Ostrogradskiy formulasining xususiy ko`rinishidir.
(1*) formula jismlarning kengroq sinfi – o`rganilgan tipdagi jismlarga ajratilishi mumkin boаlgan jismlar sinfi uchun ham to`g`ri ekanligini tushunish oson. Umuman, (1*) formulaning ixtiyoriy bo`lakli – silliq sirt bilan chegaralangan jismlar uchun ham to`g`ri еkanligini isbotlash mumkin.
Agar va funksiyalar sohada o`z hosilalari va lar bilan birga uzluksiz jo`lsalar,ular uchun ham (1*) formulaga o`xshash
(2*)
(3*)
formulalar o`rinli bo`ladi.
(1*), (2*) va (3*) formulalarni jamlab Ostrogradskiyning umumiy formulasini hosil qilamiz:
(4*)
U yopiq sirtning tashqi tomoni bo`yicha olingan umumiy ko`rinishdagi ikkinchi tur sirt integralini shu sirt bilan chegaralangan jism bo`yicha olingan uch karrali integral orqali ifodalaydi.
Agar birinchi tur sirt integrallaridan ham foydalanadigan bo`lsak, Ostrogradskiy formulasining boshqa, ko`p qo`llaniladigan va xotirada yaxshi saqlab qolinadigan ko`rinishga ega bo`lamiz:
(5*)
bu yerda sirt tashqi normaliningkoordinata o`qlari bilan tashkil qilgan burchaklari.
Eslatma 1. Ba`zan Ostrogradskiy formulasini Gauss nomi bilan ataydilar. Gauss asarlarida bu formulaning nihoyatda xususiy hollarigina uchraydi va ular har gal qayta isbotlanadi. Umumiy (4*) ko`rinishida bu formula birinchi marta 1828 yili Ostrogradskiy tomonidan keltirilgan; u bu formulani qattiq jismda issiqlik tarqalishi masalasiga qo`llagan.
Eslatma 2. Grin, Stoks va Ostrogradskiy formulalari yagona bir g`oya bilan bog`langanlar; ula biror geometric obraz bo`yicha olingan integralni shu obrazning chegarasi bo`yicha olingan integral orqali ifodalaydilar. Grin formulasi ikki o`lchovli fazoga, Stoks formulasi ham ikki o`lchovli, ammo “ egri “ fazoga taalluqli bo`lsa, Ostrogradskiy formulasi uch o`lchovli fazoga taalluqlidir.
Integral hisobning asosiy formulasiga ham bir o`lchovli fazo uchun yuqoridagilarga o`xshash formula deb qarash mumkin.