Uch karrali integrallar

Uch karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirish
Hajmning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi yordamida uch karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirishning umumiy formulasini topish qiyin emas.
va fazolarning va sohalari orasida yuqorida izohlab berilgan moslik mavjud bo`lsin. (12) formulani keltirib chiqarishda foydalanilgan hamma shartlarga rioya qilingan holda, ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirishda chiqarilgan formulaga o`xshash
(14)

formula o`rinli ekanini ko`rsataylik. Bunda funksiyani uzluksiz deb faraz qilamiz. Shunday qilib, (14) tenglikdagi ikkala integral mavjudligi shubhadan xoli va, binobarin, tenglikning o`zini keltirib chiqarish kerak.
Isbot qilish uchun, va sohalarni bo`lakli – silliq sirtlar bilan elementar (bir – biriga mos) va qismlarga ajratib, har bir juft va sohalar uchun (13) formulani qo`llansak,
(15) ga ega bo`lamiz; bu yerda nuqta sohaning ma`lum bir nuqtasi bo`lib, uni tanlash bizga bog`liq emas. sohadagi mos nuqtani olib, ya`ni
(16) deb hisoblab, (14) tenglikning chap tomonidagi integral uchun integral yig`indi tuzamiz:

Bu yerdagi lar o`rniga (16) ifodani, o`rniga (15) ifodani qo`yib,

yig`indini hosil qilamiz. Bu esa (14) tenglikning o`ng tomonidagi integral uchun integral yig`indidir.
sohalarning diametrlarini nolga intiltiramiz, natijada, moslikning uzluksizligiga ko`ra, sohalarning diametrlari ham nolga intiladi. yig`indi bir vaqtning o`zida ham birinchi, ham ikkinchi integrallarga intilishi kerak; bu yerdan, (14) tenglik kelib chiqadi.
Ikki karrali integrallarda bo`lganidek, (14) formula yuqoridagi shartlar ba`zi nuqtalarda yoki ba`zi chiziq va sirtlar bo`ylab bajarilmay qolgan ko`pgina hollarda ham o`z kuchini saqlaydi.
Misollar. 1) Ushbu sirt bilan chegaralanganjismning hajmi topilsin.
Yechish. Bu tenglamadagi va larning faqat kvadratlari qatnashgani uchun, jism va tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan. Yana, tenglamaning chap tomoni doimo musbat bo`lgani uchun, bo`lishi kerak, ya`ni jism tekisligidan butunlay yuqorida joylashgan. Shu izohlarga ko`ra, biz jismimizning birinchi oktantda yotuvchi to`rtdan bir qismining hajmini hisoblash bilan chegaralanishimiz mumkin.
Tenglamada ifodaning qatnashayotganligi bizni sferik koordinatalarga o`tishga undaydi. Sirt tenglamasiga ifodalarni qo`yib sirtning sferik koordinatalardagi tenglamasini topamiz:

Birinchi oktant

tengsizliklar bilan xarakterlangani uchun, funksional determinantning qiymati ni hisobga olgan holda

ga ega bo‘lamiz.
Jismning hajmini hisoblashga silindrik koordinatalarni tatbiq etish qiziq
formulaga olib keladi.
Bo`lakli – silliq sirt bilan chegaralangan jismni olaylik. o`qidan boshlanadigan ga to`g`ri keladigan yarim tekislik jismni biror tekis shakl bo`yicha kesayotgan bo`lsin. U holda

Bu yerda shaklni o`qi atrofida yuqorida tilga olingan yarim tekislik bilan birga aylanuvchi to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasiga nisbatan yozish qulaydir.
Endi, ravshanki, ikki karrali integral figuraning o`qiga nisbatan statik momentini ifodalaydi va, shunga ko`ra, u shakilning yuzi bilan uning og`irlik markazi dan o`qigacha masofa ning ko`paytmasiga teng:

Bu ifodani hajm formilasiga qo`yib, ushbu formulaga ega bo`lamiz:

Bu formula P.P.Kuskov tomonidan ko`rsatilgan bo`lib, tekis (o`zgarmas yoki diformatsiyalanuvchi) shaklning vintsimon harakati natijasida hosil bo`luvchi jismlarning, masalan, prujinalarning, vint narezkasining va boshqalarning hajmini topish uchun ayniqsa qulaydir.
Agar jism o`qi bilan kesishmaydigan o`zgarmas shaklning shu o`q atrofida