Umumiy matematika

2.2- §. Takroriy o’rinalmashtirishlar
Ta`rif. Xar qnday o`rinlashtirishlar takrorlanish bilan, qaysiki bu element da a₁ element α marta takrorlanadi, a₂ element ß marta takrorlanadi va hakozo. a_n element esa marta takrorlanadi, takrorlanish bilan davom etadi.

Qaysiki bunda elementlar marta takrorlanadi n elementda m takrorlanishlari bilan lar soni tartibini orqali ifodalaymmiz.

Teorema 2. Mumkin bo`lgan barcha soni n elementda m gacha qaysiki bunda lar marta takrorlanadi va

(6) ga teng.

Isbot Ixtiyoriy larni ko`rib chiqamiz qaysiki funksiya argumenti

1 2 … m (7)

bu yerda

to`plamning elementlaridir. Pastda esa elementlar tartib raqamlar bilan belgilangan. O`rinalmashtirishda a₁ elementni egallaganlar o`rniga quyidagi usul bilan belgilash kiritamiz.

ni ham huddi shunday belgilaymiz:

va nixoyat

(7) joylarning taqsimlanishi orqali aniqlanadi,qaysiki bunda elementlar joylashganlari:

……….

(8)

simvolni ko`rib chiqamiz. Boshlamg`ich 1,2,3….n o`rin almashtirishni ga o`rin almashtiramiz.Bu simvol (1)ni o`rinalamashtirishni takrorlanish bilan tashkil qilsa, keyingi o`rin almashtirish takrorlanish bilan quyidagicha yozish mumkin.

(9)

Xar xil ko`rinishli simvollarning miqdori (8) . Bundan m! hosil bo`ladi.Haqiqatan ham (9) o`rin almashtirish takrorlanishlar bilan bo`lsin.

joylarning joylashishi joylarning egallagan elementlaridir.

Simvol

(7) o’rinalmashtirish takrorlanishlarini (9) o’rin almashtirish takrorlanishlari bilan joylashtiriladi. O’rin almashtirish va takrorlanishlar orasida, (8) dagi simvollar hosil bo’ladi va o’rin almashtirishlar farqlidir. Haqiqatdan ham o’rinlarni joylashtirishda ularni almashtirish natijasida element indeksida ularning nomerlari ko’rsatiladi. Bo`larning o’rniga

Bu simvollardan ixtiyoriy o’rin almashtirish mumkin. Agarda to’plam sonlari

_{ } va _{ }

farqli, unda (7) va (9) dagi o’rin almashtirish takrorlanishlari bilan farqlidar. Bu mulohazalardan faqat berilgan (7) o’rinalmashtirish

usuli bilan yozish mumkin. Haqiqatdan ham o’rinlarni joylashtirishda a₁ elementlari bilan egallagan son o’rniga

(bunday o’rin almashtirishlar α! ta)

SHu sonlardan ixtiyoriysini olish mumkin.

O’rinlarni joylashtirishda a₂ element o’rniga

(bunday o’rin almashtirishlar β! ta).

O’rin almashtirishda a_m element o’rniga 

(bunday o’rin almashtirishlar γ! ta)

SHu sonlardan ixtiyoriy o’rin almashtirishni olish mumkin.
SHunday qilib ko’rib o’tilayotgan to’plamda m! o’rinalmashtirishlar takrorlanishlar bilan, undan tashqari har bir o’rin almashtirish _{ } marta yoziladi. Unda turli o’rin almashtirish takrorlanishlari bilan quyidagiga teng

Teorema isbotlandi.