Umumiy matematika

- §. Gruppalashlar va ularning xossalari


Ta`rif 3. Agar elementdan to m gacha tashkil etilgan bog`lanish faqatgina 1 ta element bilan farqlansa, u holda bunday bog`lanishlar n elementdan to m gacha kombinasiya deb ataladi.

Masalan. 3 elementdan mumkin bo`lgan 2 tadan kombinasiya tuzamiz:

n elementdan to m gacha tuzilgan kombinasiyalar

(9)

formula yordamida hisoblanadi.

Isbot. n elementdan to m gacha tashkil topilgan mumkin bo`lgan kombinasiyalarni bir satrga yozamiz.

Har qaysi kombinasiya ostidan mumkin bo`lgan m elementdan o`zgarishlarni tashkil qilamiz.U holda biz bog`lanishlar jadvalini olamiz.Bu bog`lanishlar ustun va qatorlardan tashkil topilgan.n elementdan to m gacha tuzilgan to`plam o`rinlashtirishlar umumiy bog`lanishlar sonini beradi ya`ni jadvaldan olingani.Shunday qilib,

bu yerdan (9) ni hosil qilamiz.

Bu muhokamani keyingi misolimizda qo`llashimiz mumkin. elementlarni lamiz va mumkin bo`lgan 3 tadan kombinasiyani tuzamiz:
P₃


Jadvaldan ko`rinib turibdiki,

Kombinasiyalar quyidagi xossalarga ega:

1) (10)

Haqiqatan ham (9),(8) va (4) formulalardan quyidagilarni olamiz:

2) (11)

(11) ni hosil qilish uchun (10) dagi m o`rniga n-m ni qo`yish mumkin.

3) Hisoblash asosida biz

(12)

larni olamiz.

Quyidagi ayniyat o`rinlidir:

(13)

Isbot. (12) ning xossasidan ahnvfdftshib quyidagi ayniyatlarni yozamiz:

Bu ayniyatlarni e`tiborga olsak, biz (13) ayniyatni olamiz.

Quyidagi ayniyat o`rinlidir

(14)
Bu ayniyat (11) va (13) lardan kelib chiqadi.

6) Arifmetik uchburchak.

(12) formula ning qiymatini topishda yordam beradi,agar qiymatlari ma`lum bo`lsa.Hisoblashni quyidagi ko`rinishda yozish qulay:

1

1 2 1

1 3 3 1

………..……………..

……………….……………..
Jadvalning n+1 ustunida raqamlar tartib bilan joylashgan. Shuning uchun

.

Qolgan raqamlar (12) formulada joylashgan.

Qanchalik joylashgan jadvalda ustunlar tepada, tepadagi ustunda chapdagi va o`ngdan joylashgan. keyingi ustunga chapdan va o`ngdan joylashtirish kerak.

Masalan 5 chi qatordagi 4 va 6 ni joylashtirishimiz natijasida, 6 chi qatordagi 10 raqamini hosil qilamiz.

Bilamizki shunaqa jadval matematiklar tomonidan topilgan.Bo`lar Ulug`bek abservatoriyasida ishlashgan (Samarqand shahrida) G`iyosiddin Koshiy (1420 yillar atrofida), shoir va matemetik Umar Hayom (1040-1123).Italyalik matematik Nikolayu Tartale (1500-1557),Fransiya matemetigi va fizigi Blez Paskal (1623-1662)

keng qo`llashgan bu jadvalni.

4.