Umumiy matematika

I bob. Takrorlanmaydigan birlashmalar

1. 
   - §. O’rinlashtirishlar
   

Qandaydir to`plam berilgan bo`lsin. M to`plam elementlaridan quyidagi simvollarni tuzamiz:

(1)

(2)

(3)

Yuqoridagi simvollar kombinatorika yoki bog`lanishlar deb ataladi. Bu kombinatorika yoki bog`lanishlar M to`plam elementlaridan tuzilgan. Bo`lardan (1) n elementdan to 2 gacha bo`lgan bog`lanish deb ataladi ; (2) esa n elementdan to 3 gacha ; (3) n elementdan to 4 gacha va hokazo.

Birlashmalar 3 ko`rinishga bo`linadi;

1.O`rinlashtirish.

2.O`rinalmashtirish.

3.Kombinasiyalash(Guruhlash).

Ta`rif 1. Agar n elementlardan to m gacha bo`lgan bog`lanish hech bo`lmaganda bir elementdan farqlansa yoki elementlarning tartibi bo`yicha ham farqlansa, u holda bu bog`lanish n elementdan to m gacha o`rinlashtirish deb ataladi.

Masalan, (1) n elementdan 2 gacha o`rinlashtirishdir.

O`rinlashtirish soni, y`ani n elementdan to m gacha ko`rinishda ifodalanadi. A rfkash fransuz so`zi “arangement”dan olingan bo`lib o`rinlashtirish ma`nosini bildiradi.

Misolllar keltiramiz. elementlarni olamiz ; n=3.

1) o`rinlashtirishlarni 1 ta element bo`yicha olamiz:

o`rinlashtirishlar soni

2) Endi o`rinlashtirishlarni 2 ta element bo`yicha olamiz.

o`rinlashtirishlar soni =6

3) o`rinlashtirishlar sonini 3 ta element bo`yicha olamiz:

.

o`rinlashtirishlar soni

Qachonki n soni katta bo`lsa, u holda o`rinlashtirish noqulaydir. O`rinlashtirishlar sonini hisoblash uchun quyidagi teoremani keltirib o`tamiz.

Teorema 1. o`rinlashtirishlar miqdori n elementdan to m gacha tuzilganlar uchun quyidagiga teng:

(4)

Isbot . n elementlarni olamiz

……..(5)

Bizga shu narsa ayonki,(5) ni 1 ta bo`yicha o`rinlashtirishsak,unda n ga teng bo`ladi,y`ani

Bu (4) formula m=1 uchun o`rinlidir.

Endi yuqori bo`lgan o`rinlashtirishni ko`rib chiqamiz.

n (6)

n-1

bu yerdan shu narsa ko`rinadiki,o`rinlashtirish n elementdan to 2 gacha n(n-1) soniga teng,y`ani

Bu (4) formula m=2 uchun o`rinlidir.

Agar biz yuqori tartibli o`rinlahtirishni n ta elementdan to 3 gacha o`rinlashtirishlar sonini topmoqchi bo`lsak, u holda ga ega bo`lishimiz qiyin emas.

Buning uchun (6) dan elementlarni olish kerak, bunda (5) ga nisbatan a_k elementlarni a_k ga to`ldiradi. Bu yerda

bunda quyidagi simvollarni tashkil qilishimiz mumkin.

Shunday qilib , har qaysi a_i a_j juftlik n-2 yangi kambinasiyani vujudga keltiradi.Bunday muhokamani davom ettirib, biz ixtiyoriy m soni uchun quyidagi formulani olamiz;

Shu narsani isbotlash talab qilingan edi.

2.