Umumiy matematika

3.4- §. Binom formulasining natijalari

1. 
   Binomal koeffitsienlarning yig’indisi 2ⁿ ga teng, ya’ni
   

(17)

Haqiqatdan ham, a=b=1 da Binom formulasiga qo’yganimizda (17) tenglikni olamiz.

2. 
   Hamma binomal koeffitsienlarning summasi ishorasi almashinuvchi bo’lgan holda nolьga teng:
   

(18)

b=-a da Binom formulasiga qo’yganimizda (18) ni olamiz.

3. 
   Hadlar koeffitsienlari,Binomni hisoblash earayonida bir xil yo’qotishlar natijasida, bir-biriga tengdir.
   

Bu hol kombinatsiya xossasidan kelib chiqadi, ya’ni

4. 
   n ko’rsatgichli hadlar koeffitsienlarning Binom yoyilmasida (n+1) qatorli Paskalь uchburchagidar. Bu oldingi xollarda va Paskalь uchburchagidan kelib chiqadi.
   
5. 
   Binom yoyilmasidagi umumiy hadni
   

Formula bo’yicha ifodalash mumkin.

m=1 da formula 2-xadni beradi, m=2 da esa 3- hadni beradi va hokazo.

Yonma –yon turgan ikki hadni taqqoslaymiz. Ya’ni

keyingi sonning koeffitsientini aniqlash uchun koeffitsientning oldingi sonini birinchi hadidagi ko’rsatgichiga ko’paytirish yetarlidir deb xulosa qilamiz.

Masalan:

6. (19)

(20)
Bu tengliklar (17) va (18)kelib chiqadi.

Bu yerdan (19) va (20) kelib chiqadi.

7. (21)

(22)

(23)

1) a=1, b=1; 2) a=1, b=ε; 3) a=1,

Bu yerda

Bundan quyidagilarni olamiz:

(24)

(1+ (25)

(1+ (26)

(24), (25, (26) larni hadma –had qo’shsak va 3 ga bo’lsak, quyidagilarni hisobga olsak:

(21) ayniyatni olamiz.

Isbot uchun (22) va (23) lardan summa tuzsak

Ekanligi kelib chiqadi.

8. (27)

Isbot: Quyidagi ayniyatni ko’rib chiqamiz.

Kanonik ko’rinishlardan foydalanib chap tomondagi ko’phadlarni tasvirlaymiz.

=

X da koeffitsientlarni hisoblab o’tsak, bu koeffitsient (27) ayniyatdagi chap tomoniga teng. Boshqa tomondan esa, da ga Binom formulasini qo’llaganimizda koeffitsient ga teng bo’ladi.

Bu yerdan (27) ayniyat kelib chiqadi.

9) (28)

Isbot: . n=m=p ligini (27) –formulaga qo’yib, tenglikdan foydalanish yetarlidir.

10). (29)

Isbot:

dan olish qiyin emas. Bu yerdan x =1 da, (29) – ayniyatni olamiz.