Umumiy matematika

Shunday qilib

ta xar xil so`z tuzish mumkin (lekin xammasi manoga ega emas). Bu yuqoridagi masala yechimidir.

Endi quyidagi bir masalani ko`rib o`taylik.

2-masala. Dыkonda 3-xil nomalum konfet mavjud. Konfetlar 3-xil ko`rinishda qo`tilarga jixozlab joylashtirilgan bo`lib xar bir nomlanishning o`z qo`tisi bor. 5 ta qo`tidan saylab tayorlash buyurtmasini necha xil usul bilan bajarish mumkin?

Yechish: Bu yerda 5 ta elementdan tuzilgan va bir-biridan farq qiluvchi (kamida bitta element bilan) tanlanmalarni tuzish zarur.

Har bir buyurtmani 0 va 1 bilan belgilaymiz(shifrlaymiz). Avvalo birinchi xil konfetdan nechta qo`ti buyurtma bo`lsa, shuncha 1 yozamiz. Sыngra 0 yozamiz. Keyin ikkinchi xil nomlangan konfetdan nechta qo`ti buyurtma bo`lsa, shuncha 1 yozamiz. Sыngra yana 0 yozamiz. Yana uchinchi xil nomlangan konfetdan qancha buyurtma berilgan bo`lsa shuncha 1 yozamiz. Agar ikkinchi yoki uchinchi xil nomlangan konfetdan buyurtma berilmagan bo`lsa, u xolda bu fakt ikkita 0 bilan belgilanadi. Agar birinchi yoki ikkinchi xil konfetdan buyurtma berilmagan bo`lsa, u xolda bitta 0 yozamiz.

Masalan, buyurtma «birinchi xil konfetdan 2 qo`ti, ikkinchi xildan 1 qo`ti, uchinchi xildan 2 qo`ti» dan iborat bo`lsa, u xolda uni

1 1 0 1 0 1 1

ko`rinishda belgilaymiz (shifrlaymiz).

Agar buyurtma «birinchi xil konfetdan 2 qo`ti va uchinchi xildan 3 qo`ti»dan iborat bo`lsa, uni

1 1 0 0 1 1 1

deb, agar buyurtma «ikkinchi xil konfetdan 4 qo`ti va uchinchi xil konfetdan 1 qo`ti» dan iborat bo`lsa, uni

0 1 1 1 1 0 1

deb belgilaymiz (shifrlaymiz).

Endi har bir shirflangan buyurtma 5 ta 1 va 2 ta 0 larning kombinatsiyasi yoki gruppasi (gurux) dan iborat. Bu takroriy o`rinalmashtirishdan iborat bo`lib bunda 1 son 5 marta 0 esa 2 marta takrorlangan. Bunga (T.1) formulani tadbiklab konfet qo`tilarni mumkin bo`lgan saylashlar sonini

deb aniqlaymiz.

Shunday kilib 2- masala yechimi 21 ta usuldan iborat.

Yuqorida (2-masala) masaladagi tanlanma bir to`plam elementlaridan tuzilgan bo`lib xajm jixatdan fark qilmasdan bir-biridan tarkibi bilan fark qiladi (kamida bita element bilan).

Bunday tanlanmalar takroriy gruppalashlar (guruxlashlar) yoki takroriy kombinatsiyalar deyiladi. Endi takroriy guruxlashlar soni xisoblashni ko`rib o`tamiz. Agar tanlanma hajmi k ga teng bo`lib ular n ta elementni o`z ichiga olgan to`plamdan tuzilgan bo`lsa, u xolda bunday tanlanmalar sonini dab belgilaymiz.

Yuqoridagi masala muxokamasiga asosan va (T.1) formulaga asosan

(T.2)

formulasini hosil qilamiz.

Bu (T.2) formulani

(T.3)

ko`rinishda xam yozish mumkin.

Haqiqatan

ya’ni (T.3) o`rinli.

Endi quyidagi masalani yechamiz.

3-masala. Agar bitta raqam bir necha marta takrorlanishi mumkin bo`lsa 1,2,3,4,5 rakamlardan nechta uch xonali sonlar tuzish mumkin?

Yechish. Agar raqamlar takrorlanmasa u xolda masala yechimi bizga malum u dan iborat bo`ladi. Lekin bu yerda elementlar takrorlanishi mumkin. Demak bunday xolatda takroriy o`rinlashtirish bo`ladi.

Uch xonali sonning birinchi raqamini besh usul bilan tanlashimiz mumkin, ya’ni 1,2,3,4,5 lardan birini. Ikkinchi rakamni ham besh usul bilan tanlash mumkin. U xolda (1) formula bo`yicha ikki rakamli sonlarni 55=5²=25 usul bilan tanlash mumkin. Uchinchi raqamni ham besh usul bilan tanlash mumkin va shuning uchun uch xonali son 555=5³=125 usul bilan tanlash mumkin.

Demak masala yechimi 125 ta 3 xonali son bo`lishi mumkin.

Xuddi shunday muxokama yuritib takroriy o`rinlashtirishlar sonini umumiy holda aniqlaymiz.

Faraz qilaylik n elementdan iborat to`plamdan k-tadan takroriy o`rinlashtirishlar tuzish zarur bo’lsin, ya’ni bita o`rinlashtirishda biror element 1,2,3,…,k marta takrorlanishi mumkin. Bunday o`rinlashtirishlar nechta bo`ladi?

Biror o`rinlashtirishda birinchi elementni n usul bilan tanlash mumkin. U xolda (1) formula bo`yicha juft-juft elementlarni nn=n² usulda tuzish mumkin.

Uchinchi elementni xam n usul bilan tanlash mumkin, to`rtinchi elementdan o`rinlashtirishlarni

n n…n=n^k

k ta

usul bilan tuzish mumkin. Agar n ta elementdan k tadan tuzilgan o`rinlashtirishlar sonini deb belgilasak, u xolda

(T.4)

formulani xosil kilamiz.

4-masala. Mexmondorchilik uchun 2 kg olma 3 kg nok va 4 kg apelsin sotib olindi. 9 ta tarelkaga 1 kg dan meva joylashtiriladi. Mevalarni necha usul bilan joylashtirish mumkin?

Yechish: Belgilashlar qabo`l qilamiz

olma-o

nok-n

apelsin-a

tuzish mumkin bo`lgan tanlanmadan bittasini yozaylik:

nnonaaoaa

qolgan tanlanmani uning elementlaridan o`rinlarini almashtirib hosil qilish mumkin.

Demak takroriy o`rinalmashtirishlarni hisoblash zarur.

Biz qarayotgan holatda n=9 n₁=2 n₂=3 n₃=4; n=n₁+n₂+n₃

Shuning uchun mevalarni 9 ta tarelkaga joylashtirish usuli soni

5- masala. Do`konga 10 xil daftar keltirildi. Miqdori 12-ta bo`lgan daftarlar tanlanmasini nechta usul bilan tanlash mumkin ? Miqdori 8 ta bo`lsachi?

Yechish: Masala shartiga ko`ra takroriy guruxlash (kombinatsiya)larni hisoblash kerak.

formulaga asosan k=12 n=10

xudi shunday

6-masala. Agar bitta raqam bir necha marta takrorlanishi mumkin bo`lsa, 0,1,2 raqamlardan nechta to`rt xonali son tuzish mumkin?

Yechish: 0,1,2 rakamlardan ta to`rt xonali sonlar tuzish mumkin. Lekin tuzilgan to`rt xonali sonlardan birinchi ra=ami 0 bo`lganlari 4 xonali son bo`lmaydi. Demak tuzilgan takroriy o`rinlashtirishlardan 0 bilan boshlanuvchilar mikdorini ayirib tashlash zarur. 0 bilan boshlanuvchilar esa 0,1,2 raqamlardan tuzilgan takroriy tanlanmalar 3 xonali sonlardan iborat bo`ladi. Bunday sonlar mikdori

Demak,

=3⁴-3³=81-27=54


Xulosa

Kombinatorika elementlari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika masalalarini yYechishda muhim ahamiyatga ega. Bizning kundalik hayotimizda amaliy masalalarni yYechishda kombinatorikadan foydalanishga to’g’ri keladi. Masalan: telefon (uyali telefon)larni nomerlashda; avtomobillarni nomerlashda; hisob-kitob varaqlarini nomerlash va shu kabi masalalarni yYechishda kombinatorikadan keng foydalaniladi. Bu yerda biz shu tipdagi (xildagi) masalalarni yechib ko’rsatdik.

Bundan tashqari kombinatorika tushunchasi va xossalaridan foydalanib Binom va polinom yoyilmasi ko`rsatildi, ularning koeffisientlarini hisoblash formulasi ko`rsatildi. Binom yoyilmasidagi koeffisientlar yig`indisining xossalari ko`rsatildi.