Umumiylik va mavjudlik kvantorlari

Umumiylik va mavjudlik kvantorlari

to‘plamda aniqlangan predikat berilgan bo‘lsin. Agar ni

predikatning argumenti o‘rniga qo‘ysak, u holda bu predikat mulohazaga aylanadi.

Predikatlar mantiqida yuqorida ko‘rilganlardan tashqari yana ikkita amal mavjudki, ular bir joyli predikatni mulohazaga aylantiradi.

Umumiylik kvantori. to‘plamda aniqlangan predikat berilgan bo‘lsin. Har qanday uchun chin va aks holda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini shaklda yozamiz. Bu mulohaza endi ga bog‘liq bo‘lmay qoladi va u quyidagicha o‘qiladi: «har qanday uchun chin». simvol umumiylik kvantori deb ataladi. Aytilgan fikrlarni matematik ifodalar vositasida quyidagicha yozish mumkin:



predikatda ni erkin (ozod) o‘zgaruvchi va mulohazada ni umumiylik kvantori bilan bog‘langan o‘zgaruvchi deb ataladi.

Mavjudlik kvantori. predikat to‘plamda aniqlangan bo‘lsin. Hech bo‘lmaganda bitta uchun predikat chin va aks holda yolg‘on qiymat qabul qiluvchi mulohaza ifodasini shaklda yozamiz. Bu mulohaza ga bog‘liq emas va uni quyidagicha o‘qish mumkin: «shunday mavjudki, », ya’ni



simvol mavjudlik kvantori deb ataladi. mulohazada o‘zgaruvchi kvantori bilan bog‘langan bo‘ladi.

1- misol. natural sonlar to‘plamida predikat berilgan bo‘lsin: « – tub son». Kvantorlardan foydalanib ushbu predikatdan quyidagi mulohazalarni hosil qilish mumkin: – «Hamma natural sonlar tub sonlar bo‘ladi»; – «Shunday natural son mavjudki, u tub son bo‘ladi». Ravshanki, birinchi mulohaza yolg‘on va ikkinchi mulohaza chindir. ■

Ma’lumki, mulohaza faqat aynan chin predikat bo‘lgandagina

chin qiymat qabul qiladi. mulohaza bo‘lsa, aynan yolg‘on predikat bo‘lgandagina yolg‘on qiymat qabul qiladi.

Kvantorli amallar ko‘p joyli predikatlarga ham qo‘llaniladi. Masalan, to‘plamda ikki joyli predikat berilgan bo‘lsin. Agar predikatga o‘zgaruvchi bo‘yicha kvantorli amallarni qo‘llasak, u holda ikki joyli predikatga bir joyli (yoki bir joyli ) predikatni mos qilib qo‘yadi.

Bir joyli ( ) predikat faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq, o‘zgaruvchiga esa bog‘liq emas. Ularga bo‘yicha kvantorli amallarni qo‘llaganimizda quyidagi mulohazalarga ega bo‘lamiz:

, , , .

2- misol. To‘g‘ri chiziqlar to‘plamida aniqlangan : « » predikatni ko‘raylik. Agar predikatga nisbatan kvantorli amallarni tadbiq etsak, u holda quyidagi sakkizta mulohazaga ega bo‘lamiz:

1. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq har qanday to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».

2. – «Shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, u har qanday to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».

3. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq uchun shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chizig‘i to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».

4. – «Shunday to‘g‘ri chiziq va shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».

5. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq har qanday to‘g‘ri chiziqqga perpendikulyar».

6. – «Har qanday to‘g‘ri chiziq uchun shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqga perpendikulyar».

7. – «Shunday to‘g‘ri chiziq va shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, to‘g‘ri chiziq to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar».

8. – «Shunday to‘g‘ri chiziq mavjudki, u har qanday to‘g‘ri

chiziqqa perpendikulyar». ■

Bu misoldan ko‘rinib turibdiki, umumiy holda kvantorlar tartibi o‘zgarishi bilan mulohazaning mazmuni va, demak, uning mantiqiy qiymati ham o‘zgaradi.

Chekli sondagi elementlari bo‘lgan to‘plamda aniqlangan predikat berilgan bo‘lsin. Agar predikat aynan chin bo‘lsa, u holda mulohazalar ham chin bo‘ladi. Shu holda mulohaza va kon’yunksiya ham chin bo‘ladi.

Agar hech bo‘lmaganda bitta element uchun yolg‘on bo‘lsa, u holda mulohaza va kon’yunksiya ham yolg‘on bo‘ladi. Demak,

teng kuchli ifoda to‘g‘ri bo‘ladi.

Yuqoridagidek fikr yuritish yo‘li bilan

teng kuchli ifodaning mavjudligini ko‘rsatish mumkin.

Bu yerdan kvantorli amallarni cheksiz sohalarda kon’yunksiya va diz’yunksiya amallarining umumlashmasi sifatida qarash mumkinligi kelib chiqadi.