Variatsion hisobning asosiy masalasi Birinchi variatsiani tekshirish’’

Funksionalning variatsiyalari.
Funksionalning variatsiyasi ta’rifini berishdan oldin chiziqli va kvadratik funksionallar tushunchalarini eslatib o’tamiz.
Agar biror chiziqli normalangan W fazoda aniqlangan J[u] funksional bir jinsli va additiv bo’lsa, ya’ni:
1) c-ixtiyoriy o’zgarmas.
2)
shartlar bajarilsa, J[u]-chiziqli funksional deyiladi. Masalan, agar p(x) va q(x) lar [x₀,x₁] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa,

tenglik orqali aniqlangan J[y] funksional W=C¹[x₀,x₁] da chiziqli funksional bo’ladi.
W – chiziqli normalangan fazo, J=J[u,v] funksional har bir o’zgaruvchisi bo’yicha chiziqli bo’lsin. Agar u=v deb olsak, hosil bo’lgan J[u,u] funksionalga kvadratik funksional deyiladi. Masalan, agar a(x)-[x₀,x₁] oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya bo’lsa,

funksional W=C[x₀,x₁] fazoda har bir u=u(x) va v=v(x) elementlar bo’yicha chiziqli funksionaldir. Bu yerda u=v deb olib, C[x₀,x₁] da aniqlangan

kvadratik funksionalga ega bo’lamiz.
3-t a ’ r i f. Agar J[y] funksional W chiziqli normalangan fazoda berilgan bo’lsa,

ayirmaga J[y] funksionalning orttirmasi deyiladi.
4-t a ’ r i f. Agar W chiziqli normalangan fazoda berilgan J[y] funksionalning orttirmasi uchun,
(16)
yoyilma o’rinli bo’lib, bunda -b ga nisbatan chiziqli funksional, esa, da / munosabatni qanoatlantirsa , J[y] funksional nuqtada differensiallanuvchi yoki birinchi variatsiyasiga ega deyiladi.
(16) yoyilmaning bosh qismidan iborat L[y,h] ga esa, J[y] funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va u kabi belgilanadi: .
Keltirilgan ta’rif bo’yicha variatsiyaga ega funksionallarga adabiyotlarda Freshe ma’nosida (yoki kuchli ma’noda) differensiallanuvchi funksionallar ham deyiladi.
6- t a ’ r i f. W chiziqli normalangan fazoning y elementi va uning ixtiyoriy elementi uchun, funksionalning orttirmasi,
(17)
ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo’lsin, bu yerda ga nisbatan chiziqli fnuksional, esa, ga nisbatan kvadratik funksional, U holda, J[y] funksional nuqtada ikkinchi variatsiyaga ega deyiladi. h ga nisbatan kvadratik funksional esa, J[y] funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi hamda bu variatsiya kabi belgilanadi:
7-t a ’ r i f. J[y] funksionalning nuqtadagi Lagranj bo’yicha birinchi variatsiyasi deb, funksiyaning nuqtadagi hosilasiga aytiladi:
.
funksiyaning nuqtada ikkinchi tartibli hosilasiga esa, J[y] funksionalning Lagranj bo’yicha ikkinchi variatsiyasi deyiladi:

1.Masalaning qo’yilishi.
Quyidagilar berilgan bo’lsin:
a) dagi biror ochiq to’plam (soha);
b) to’plamning ga proyeksiyasi;
v) to’plamning belgilangan nuqtalari,
g) uzluksiz funksiya.
fazoning
(1)
to’plamida aniqlangan,
(2)
funksionalning ekstremumini topish masalasini qaraymiz. Bu masalaga variatsion hisobning asosiy masalasi deyiladi va u
(3)
ko’rinishda belgilanadi. (1) ko’rinishdagi to’plamga (3) masalaning joyiz funksiyalari (chiziqlari) to’plami deyiladi. (3) masalada joyiz chiziqlarning uchlari berilgan P₀ va P₁ nuqtalarda mahkamlangan, ya’ni qo’zg’olmasdir.
Variatsion hisobning asosiy masalasi - chegaralari qo’zg’olmas eng sodda variatsion masaladir.
Qaralayotgan (3) masalaning yechimi – (2) funksionalning (1) to’plamdagi global ekstremum nuqtasidan iborat. Yechimni aniqlashda esa, lokal ekstremum tushunchasi ham muhim rol o’ynaydi, chunki ular uchun funksional variatsiyasidan foydalaniladigan zaruriy va yetarli shartlar mavjud (1-ma’ruzaga q.).
(2) funksional qaralayotgan fazoda funksiyaning nolinchi va birinchi tartibli atroflari tushunchalaridan foydalanib, lokal ekstremum nuqtalarini ham, shularga mos holda, aniqlash mumkin.
1-t a ’ r i f. – joyiz funksiya bo’lsin . Agar ning shunday nolinchi tartibli – atrofi mavjud bo’lib, shu atrofga tegishli barcha joyiz funksiyalar uchun,

munosabat bajarilsa, funksiya - (2) funksionalning kuchli lokal minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi.
2-t a ’ r i f. Agar joyiz funksiyaning shunday birinchi tartibli - atrofi mavjud bo’lsaki,
munosabat bajarilsa, funksiya (2) funksionalning kuchsiz lokal minimum (maksimum) nuqtasi deyiladi.
(2) funksionalning kuchli (kuchsiz) lokal ekstremum nuqtalariga variatsion hisob asosiy masalasida kuchli (kuchsiz) ekstremallar ham deyiladi.
Demak, agar -- kuchli ekstemal bo’lsa, bu funksiya, unga faqat qiymatlari bo’yicha yaqin bo’lgan barcha joyiz funksiyalar ichida, funksionalga minimal (yoki maksimal) qiymat beradi. -- kuchsiz ekstremal bo’lganda esa, bu funksiya, unga nafaqat qiymatlari, balki hosilasining qiymatlari bo’yicha ham yaqin bo’lgan joyiz funksiyalar ichida, funksionalga ekstremal qiymat beradi.
Nolinchi tartibli atrofning birinchi tartibli atrofdan kengroqligini, ya’ni ekanligini hisobga olsak, yuqoridagi ta’riflardan har bir kuchli ekstremalning kuchsiz ekstremal ham bo’lishi kelib chiqadi. Bu tasdiqning aksi esa, to’g’ri emas.
Misol.
Ravshanki, funksiya bu masalada kuchsiz minimal bo’ladi. Haqiqatan ham,

shartni qanoatlantiruvchi har bir funksiya uchun
, bo’lganligidan,

munosabat bajariladi. Ammo -- kuchli minimal bo’la olmaydi. Haqiqatan ham, istalgancha kichik bo’lganda ham, joyiz funksiya yetarli katta lar uchun, shartni qanoatlantiradi, ammo

Variatsion hisob asosiy masalasida yechimning mavjudligini tekshirishda quyidagi yetarli shartdan foydalanish mumkin. Biz bu tasdiqni isbotsiz keltiramiz.
Faraz qilaylik: 1) 2) funksiya bo’yicha qavariq (botiq); 3) bo’lsin. U vaqtda, shunday , absolyut uzluksiz funksiya mavjudki, u , shartlarni qanoatlantiradi va bu funksiyada (2) funksional kuchli minimum (maksimum) ga erishadi.
2. Asosiy lemmalar.
Avvalgi ma’ruzamizda funksional ekstemumining zaruriy sharti – birinchi variatsiyaning ekstremum nuqtasida nolga teng bo’lishi ekanligi ko’rsatildi. Ushbu ma’ruzada shu natija asosida variatsion hisob asosiy masalasida eksremumning birinchi tartibli zaruriy sharti aniqlashtiriladi.
Dastlab, variatsion hisobning asosiy lemmalari deb ataluvchi, ba’zi yordamchi tasdiqlarni keltiramiz.
1-l e m m a (Lagranj). Agar funksiya kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu da uzluksiz differensiallanuvchi hamda shartni qanoatlantiruvchi barcha funksiyalar uchun,
(4)
tenglik bajarilsa, kesmada bo’ladi.
I s b o t i. Lemmaning tasdig’i o’rinli bo’lmasin, deb faraz qilamiz, ya’ni qandaydir nuqtada bo’lsin. funksiyaning uzluksizligidan foydalangan holda, nuqtani kesmaning ichki nuqtasi deb hisoblash mumkin. Aniqlik uchun, deb olamiz. funksiyaning uzluksizlik xossasiga ko’ra, nuqtaning shunday atrofi topiladiki, unda funksiya o’z ishorasini saqlaydi, ya’ni musbat bo’lib qola veradi. Endi funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
(5)

(5) funksiya uchun,

funksionalni qaraymiz. Bu yerda faqat va ga bog’liq. Demak, Eyler tenglamasining birinchi integralini ((18) tenglama) yozamiz:
.
Bu yerdan, yoki tenglamani olamiz. Endi almashtirish olsak, bo’ladi. Natijada: . Agar joyiz chiziqning uchlari va nuqtalarda ekanligidan foydalansak, bo’lishini olamiz.
tenglamalar sistemasi sikloida deb ataluvchi chiziqning parametrik shakldagi tenglamalaridan iborat. Demak, braxistoxrona haqidagi masalaning yechimi faqat sikloida yoyidan iborat bo’la olar ekan.
3. Gilbert teoremasi.
Yuqorida ko’rsatildiki, agar bo’lsa, Eyler tenglamasi, funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli differensial tenglamadan iborat. Ammo, (3) masalada ekstremal dan izlanadi. Shuning uchun, ekstremalning ga tegishli bo’lishini ta’minlovchi quyidagi tasdiqning ahamiyati kattadir.
3-t e o r e m a (Gilbert). bo’lsin. Agar (3) masalaning kuchsiz lokal ekstremali uchun bo’lsa, bo’ladi.
I s b o t i. Quyidagi,

funksiyani qaraymiz, bunda . 2-teoremaga ko’ra ,

ya’ni funksiya funksiya uchun boshlang’ich funksiyadir. Shuning uchun,
.
Demak, funksiya uchun .
Teoremaning shartiga ko’ra
.
U vaqtda oshkormas funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremaga asosan, tenglamaning yechimi funksiya o’z argumentlari buyicha nechanchi tartibli xosilaga ega bo’lsa, shunday tartibli xosilaga egadir. bo’lgani uchun . Demak, , ya’ni . Teorema isbotlandi.

4. Eylerning integro-differensial tenglamasi. Variatsion hisobning asosiy masalasi silliq joyiz funksiyalar sinfida yechimga ega bo’lmasligi mumkin. Shuning uchun, V joyiz funksiyalar to’plamini kengaytirib, uni quyidagicha aniqlaymiz:
(19)
Bu yerda kesmada uzluksiz, hosilalari esa faqat chekli sondagi uzilish nuqtalariga ega funksiyalar to’plamidan iborat. Har bir joyiz funksiya uchun shartni qanoatlantiruvchi bir necha nuqtalar mavjud. Bunday nuktalarga bo’lakli – silliq, joyiz funksiyaning bukilish nuqtalari deyiladi.
Endi joyiz funksiyalari bo’lakli-silliq funksiyalar sinfidan olingan variatsion hisob asosiy masalasini qaraymiz:
(20)
dan olingan va funksiyalar orasidagi birinchi tartibli masofani ham dagi metrika kabi aniqlash mumkin:

bu yerda to’plam – va hosilalar mavjud bo’lgan nuqtalar to’plamidir.
dagi funksiyaning birinchi tartibli atrofini
(21)
kabi aniqlab, (2) funksionalning (19) to’plamidagi kuchsiz lokal ekstremumi ta’rifini berish mumkin. Buning uchun, 2-ta’rifdagi ni (21) dagi bilan almashtirish kifoya. Shunday aniqlangan kuchsiz ekstremal uchun quyidagi teorema o’rinlidir.
4-t e o r e m a. bo’lsin. Agar (20) masalada kuchsiz ekstremal bo’lsa, u quyidagi
(22)
tenglamani qanoatlantiradi.
I s b o t i. 1-teorema isbotidagiga o’xshash mulohaza yuritib, funksional variatsiyasining (11) ko’rinishdagi ifodasiga ega bo’lamiz:
,
bu yerda . Integral ostidagi birinchi qo’shiluvchini bo’laklab integrallaymiz:

U vaqtda, shart,

ko’rinishini oladi. Endi 3-lemmani qo’llab,

tenglikni olamiz, bu yerda nuqta hosila mavjud bo’lgan nuqtadir. Shunday qilib, funksiya (22) tenglamani qanoatlantirishi ko’rsatildi. Teorema isbotlandi.
(22) ga Eylerning integro-differensial tenglamasi deyiladi.
Isbotlangan teoremadan ko’rinadiki, agar ekstremal bukilish nuqtalariga ega bo’lsa, (23) ning o’ng tomoni oraliklarda uzluksiz differensiallanuvchi, demak, funksiya shu oraliklarda (16) Eyler tenglamasini qanoatlantiradi. Joyiz funksiyalari silliq funksiyalar sinfidan olingan (3) masala uchun esa, (22) tenglama, (16) tenglamaga teng kuchlidir.
(23) tenglikning o’ng tomoni barcha nuqtalarda uzluksiz. Demak, bu tenglikning chap tomoni ham uzluksiz funksiyadir. Natijada, agar ekstremalning bukilish nuqtasi bo’lsa,
(24)
tenglik o’rinlidir. (24) ga Veyershtrass – Erdman sharti deyiladi. Bunday tipdagi shartlardan yana biri,

funksiyaning bukilish nuqtasida uzluksizligidir, ya’ni
(25)
ko’rinishdagi Veyershtrass – Erdman shartining isboti optimal boshqaruv nazariyasi natijalaridan kelib chiqadi.
Ma’ruzamiz oxirida, yechimi bo’lakli-silliq funksiyalar sinfida bo’lgan variatsion masalaga misol sifatida quyidagini keltiramiz.
Misol. .
Bu masalada joyiz funksiyalarni sinfidan olsak, bo’ladi, silliq yechim mavjud emas. Haqiqatan ham, agar


funksiyalar ketma-ketligini qarasak, bu funksiyalar joyiz funksiyalar bo’ladi, ya’ni . Bu ketma-ketlikda bo’lgani uchun,

va . Demak, ekanligini hisobga olsak, . Ammo, bo’lishi uchun, funksiya kesmada yo aynan nolga teng, yoki bo’lishi kerak. Biroq, bu funksiyalar, chegaraviy shartlarni qanoatlantirmaydi.
Bundan ko’rinadiki, qaralayotgan masala, silliq joyiz funksiyalar sinfida yechimga ega emas. Masalaning bo’lakli-silliq funksiyalar sinfida yechimi mavjud. Shunday yechim sifatida,
,
funksiyani olish mumkin . Bu funksiya uchun, burchak nuqta (bukilish nuqtasi) bo’ladi. Ushbu burchak nuqtada Veyershtrass – Erdman shartlari bajariladi.