Variatsion hisobning asosiy masalasi Birinchi variatsiani tekshirish’’

Geodezik chiziqlar haqidagi masala. Masala quyidagicha qo’yiladi: Berilgan S sirtda yotuvchi va sirtning A₀ va hamda A₁ nuqtalarini tutashtiruvchi eng qisqa uzunlikka ega bo’lgan chiziq topilsin
Bunday eng qisqa uzunlikka ega chiziqlar geodezik chiziqlar deb ataladi. Masalaning matematik modelini tuzish uchun, S sirt tenglama bilan berilgan, A₀ va A₁ nuqtalarning koordinatalari, mos ravishda, (x₀,y_0,z₀) va (x₁,y_1,z₁) bo’lsin, deb faraz qilamiz. Qaralayotgan nuqtalarni tutashtiruvchi ixtiyoriy y=y(x), z=z(x), x₀xx₁ silliq chiziqni qaraymiz. Matematik analiz kursidan yaxshi ma’lumki, bu chiziqning uzunligi
(2)
formula orqali topiladi. Masalaning qo’yilishiga ko’ra,
(3)
munosabatlarga ega bo’lamiz. Shunday qilib, geodezik chiziqlar haqidagi masala (2) ko’rinishdagi L[y,z] o’zgaruvchi miqdorni (3) shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi, y=y(x), z=z(x), x₀xx₁ funksiyalar to’plamida minimallash-tirish masalasidan iborat. Bu masala, 1968 yilda Ya.Bernulli tomonidan yechilgan.
Klassik izoperimetrik masala. Bu masalada berilgan uzunlikka ega bo’lgan barcha yopiq chiziqlar ichida maksimal S yuzani chegaralovchi chiziqni topish talab qilinadi.
Bunday chiziqning aylanadan iborat ekanligi qadimgi Yunonistonda ma’lum edi. Izoperimetrik masala deb ataluvchi bu masalani xozirgi zamon matematikasi tilida ifodalash uchun, yopiq chiziq x=x(t), y=y(t), t[t₀,t₁] parametrik tenglamalar bilan berilgan, deb faraz qilamiz.
U holda, shu yopiq chiziq bilan chegaralangan yuza,
(4)
formula orqali topiladi. Chiziq uzunligi ga tengligi va chiziqning yopiqligini hisobga olsak,
(5)
izoperimetrik shartga va
(6)
chegaraviy shartga ega bo’lamiz. Shunday qilib, qaralayotgan masala (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorning, (5), (6) shartlarni qanoatlantiruvchi uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar to’plamida, minimumini topishdan iboratdir.
Yuqorida keltirilgan masalalarda (1), (2) va (4) ko’rinishdagi o’zgaruvchi miqdorlarga ega bo’ldik. Ular funksional tipidagi o’zgaruvchi miqdorlarga misol bo’la oladi. Funksionallar esa, funksional analiz kursining asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, berilgan W funksional fazo V to’plamining har bir elementiga biror J(u) haqiqiy sonni mos qo’yuvchi akslantirishni bildiradi. Funksionallar, odatda, cheksiz o’lchovli funksional fazolarda berilgan bo’ladi. Ularning eng katta (maksimal) va eng kichik (minimal) qiymatlarini topish haqidagi masalalar cheksiz o’lchovli ekstremal masalalar bo’lib, bunday masalalarni o’rganish variatsion hisob predmetini tashkil etadi.
XVII asrning oxiridan XX asr o’rtalarigacha bo’lgan davr klassik variatsion hisobning paydo bo’lishi va rivojlanishini o’z ichiga oladi. Bu davrda dastlabki fundamental tadqiqotlar L.Eyler va J..Lagranj tomonidan bajarildi. XVIII asrning oxirlarida Eyler, Lagranj va Lejandrlarning ilmiy tadqiqotlari natijasida variatsion hisob birinchi variatsiyani tekshirish qismi bo’yicha tugallangan shaklga ega bo’ldi.
XIX asrda esa, avval ma’lum bo’lgan variatsion masalalarni umumlashtirish boshlandi va variatsion hisobning tadbiqlari bo’yicha natijalar olindi (M.I.Ostrogradskiy tomonidan 1834 yilda karrali integralli variatsion masalalar uchun zaruriy shartlar olindi, variatsion hisobning mexanikaga tadbiqi qaraldi).
XIX asrning ikkinchi yarmida funksionallar ekstremumlarining yetarli shartlari olindi (K.Veyershtrass tomonidan, 1879 yilda).
XX asrda variatsion hisobning to’g’ri usullari yuzaga keldi. Ular variatsion masalalarni taqribiy yechish uchun, hamda ularda yechimning mavjudligini isbotlash uchun juda muhimdir.
XX asrning boshlarida matematikada yangi yo’nalish – funksional analiz yuzaga keldi va aniq tabiatshunoslikning turli sohalarida, jumladan, kvant mexanikasida keng qo’llanila boshladi. Variatsion hisob «chiziqsiz» funksional analizning tarkibiy qismiga aylandi.
XX asrnig ikkinchi yarmiga kelib optimal boshqaruvning matematik nazariyasiga asos solinishi va uning jadal rivojlanishi variatsion hisob taraqqiyotida yangi davrni boshlab berdi. Bu yangi yo’nalishda, sobiq Ittifoqda akademik L.S.Pontryaginning «maksimum prinsipi», amerikalik R.Bellmanning dinamik pogrammalashtirish usuli asosiy natijalar hisoblanadi