Viviani’s theorem and related problems


Conditions for polygons to possess CVS property



Yüklə 1,31 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə9/18
tarix24.05.2023
ölçüsü1,31 Mb.
#121348
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   18
2020 SMPF - Vivianis Theorem and Related Problems

6. Conditions for polygons to possess CVS property 
Conditions for polygons to possess CVS property (Elias Abboud, 2006), which was found and proven by 
linear programming, is stated as:
Proof 
Given a triangle 

ABC, let a
1
, a
2
, a
3
be the lengths of the 
sides BC, AC, AB respectively. Let P be a point inside the 
triangle and let h
1
, h
2
, h
3 
be the distances from the point P 
to the three sides respectively. Let V(P) be the sum of 
distances from point P to the sides of the triangle.  
For 1 ≤ i ≤ 3, let x
i
 = 

, where 

 = V(P) 
Clearly, for each 1 ≤ i ≤ 3, we have 0 ≤ x
i
 ≤ 1 and ∑
= 1. Denote x = (x
1
, x
2
, x
3
) and consider the linear function 
in three variables F(x) =
. Now, this function is 
closely related to the function V. Accurately,
F(x) = 
 = 



( )
 
where S is the area of the triangle.
Consequently, F(x) =
takes equal values in a subset of points of the feasible region if and only if 
the function V takes equal values at the corresponding points inside the triangle.
Thus we may define the following linear programming problem; The objective function is:
F(x) = 
 
subject to the following constraints:

≤ 1
≥ 0 ; 1 ≤ ≤ 3
Theorem 7. If V takes equal values at three non-collinear points, inside a convex 
polygon, then the polygon has the CVS property



2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
10 

Yüklə 1,31 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   18




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin