Xətti diferensial operator

Xətti diferensial operator.
Riyazi analiz kursunda fəza və onun altfəzası anlayışları ilə tanışıq olmuşuq. parçasında kəsilməyən funksiyaların çoxluğunu kimi işarə edib, onun xətti fəza olduğunu köstərmişik. Eləcə də parçasında n-ci tərtib də daxil olmaqla kəsilməz törəmyə malik funksiyaların çoxluğunu kimi işarə edib. Bu çoxluğun fəzasının altfəzası olduğunu göstərmişik.
Tutaq ki, E hər hansı xətti fəza, D isə bu fəzanın altçoxluğudur. D çoxluundan götürülmüş hər bir x elementinə E çoxluğunun yeganə y elementini qarşı qoyan hər hansı funksiyaya operator deyəcəyik və
Ax=y
Kimi işarə edilir D çoxluğuna A operatorunun təyin oblastı deyilir. Əgər A operatorunun təyin oblastı olan D çoxluğu E xətti fəzasının altfəzasıdırsa və

1. 
   
   
2. 
   
   

şərtləri ödənilərsə, onda A operatoruna xətti operator deyilir.
Indi tutaq ki,

funksiyalarının hər biri parçasında kəsilməyən funksiyalardır. fəzasından götürülmüş y(x) funksiyası üçün
(1)
Cəminə baxaq. Aydındır ki, (1) tənliyinin hər bir həddi və deməli (1) cəminin özü parçasında kəsilməyən funksiyadır. Deməli (1) ifadəsinin köməyi ilə altfəzasının hər bir y(x) elementinə fəzasının yeganə elemnti qarşı qoyulur. Yəni (1) ifadəsi operatordur. Həmin operatoru
Kimi işarə edək. Yenə də riyazi analiz kursundan məlumdur ki, və olarsa onda olar. digər tərəfdən cəmin törəməsi törəmələr cəminə bərabər olduğundan


olduğunu nəzərə alsaq:

Beləliklə göstərdik ki, (2) bərabərliyi ilə təyin olunan L operatoru xətti operatorudur. L operatoru diferensiallama əməlinin köməyi ilə düzəldildiyindən onu xətti diferensial operator adlandıracağıq.

Xətti asıllılıq.
Tutaq ki,

funksiyaları hər hansı parçasında verilmişdir. Əgər heç olmazsa biri 0-dan fərqli olan elə

ədədləri varsa ki, x-in -dən götürülmüş qiymətlərindən asılı olmayaraq, yəni x-in -dən götürülmüş istənilən qiymətində
(1)
eyniliyi ödənilsin, onda funksiyalarına parçasında xətti asılıq funksiyalar deyilir. Əks halda, yəni (1) eyniliyi yalnız

olduqda ödənilərsə, onda funksiyalarına parçasında xətti asılıq olmayan funksiyalar deyilir.
Misal 1. Orta məktəb riyaziyyat kursundan məlum olan əsas triqanometrik eyniliyə görə:

funksiyalarının nəinki parçasında hətta bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda xətti asıllıq olduqları bizə məlumdur.
Misal 2.
Funksiayları heç bir parçada xətti asılıq ola bilməzlər. Əksindən fərz edək. Tutaq ki, verilən funksiyalar hər hansı parçasında xətti asıllıqdırlar. Onda heç olmazsa biri 0-dan fərqli olan elə ədədləri vardır ki, x-in parçasından götürülmüş bütün qiymətlərində

Onda x-in parçasından götürülmüş sonsuz sayıda qiymətləri (2) tənliyinin həlli olacaqdır. Digər tərəfdən (2) tənliyinin sol tərəfindəki ifadə dərəcəsi n-i aşmayan çoxhədli olduğundan cəbrin əsas teoreminə görə dərəcəsi n-i aşmayan çoxhədlinin köklərinin sayı n-i aşa bilməz. Bu ziddiyyət fərziyəmizin doğru olmadığını, yəni funksiyaların xətti asılı olmadığını sübut edir.
Misal 3. ,
Funksiyaları , əgər olduqda istənilən parçada xətti asılı olmayan funksiyalardır. Yenə də əksindən fərz edək. Tutaq ki, heç olmazsa biri 0-dan fərqli olan ədədləri var ki,
(3)
müəyyənlik üçün fərz edək ki, , olduğundan (3) eyniliyinin hər iki tərəfini -ə bölək
(4)
alınmış (4) eyniliyini diferensiallasaq:
(5)

(5)eyniliyiin hər tərəfini -ə bölüb,diferensiallasaq və bu prosesi axıra qədər davam etdirsək

Şərtə görə , və exp funksiya heç zaman 0-a bərabər qiymət ola bilməz. Alınmış ziddiyyət fərziyəliliyin doğru olmadığını göstərir.
Misal 4.



Funksiyaları heç bir parçada xətti asılı deyildirlər.