Xətti tənliklər sistemi. Əsas anlayışlar

Xətti tənliklər sistemi. Əsas anlayışlar.
Xətti tənliklər sistemi mövzusunun elementləri hələ orta məktəbdə tədris olunmağa başlayır. Ən sadə xətti tənliklər sistemi

şəklində olan sistemdir. Burada a1, b1, c1, a2, b2, c2 {\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}}verilmiş əmsallar x {\displaystyle x}və y {\displaystyle y}isə dəyişənlərdir. Aydındır ki, hansı tənliyi birinci və hansını ikinci yazmağın əhəmiyyəti yoxdur. Orta məktəbdə belə sistemin həlli üçün təklif olunan üsullardan biri cəbri toplama üsulu adlanan üsuldur. Bu üsulun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Birinci tənliyin hər iki tərəfini {\displaystyle -a_{2}a_{1}^{-1}}ədədinə vuraq:

Alınan qiyməti birinci tənlikdə yerinə yazmaqla x-i də tapmaq olar. Bu üsul yuxarıdakı sistemi tamamilə araşdırmağa imkan verir. Bir sıra praktik məsələlərlə əlaqədar daha mürəkkəb xətti tənliklər sistemi meydana çıxır. Belə sistemlərdə dəyişənlərin və tənliklərin sayı müxtəlif və böyük ədədlər ola bilər.
Ümumi şəkildə n dəyişəni olan m {\displaystyle n}n dəyiş
ffsayda tənlikdən ibarət olan xətti tənliklər sistemi aşağıdakı şəkildə yazılır:


Xətti tənliklər sisteminin həll üsulları: Kramer qaydası, Qauss üsulu.
Xətti cəbri tənliklər sisteminin determinantlar üsulu ilə həllini ilk dəfə 1751-ci ildə İsveçrə alimi Qabriyel Kramer irəli sürmüşdür.

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi ( yəni məchullu tənlik) verilmişdir:

və əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir:

Tutaq ki,  sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin determinantının hər hansı sütunun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:

Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.
Xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün istifadə edilən üsulıardan biri Qauss üsuludur. Bu üsul praktiki cəhətdən ən əlverişli üsuldur. Qauss üsulu “məchulları ardıcıl yoxetmə” üsulu da adlanır. Məchulları ardıcıl yox etmək üçün sistemdəki tənliklər üzərində elementar çevirmələr aparılır. Elementar çevirmə dedikdə aşağıdakılar nəzərdə tutulur:
1. Tənliklərin yerini dəyişmək;
2. Tənliklərdən hər hansı birinin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli ədədə vurmaq;
3. Tənliklərdən birinin hər iki tərəfini eyni ədədə vurub digər tənliyin üzərinəəlavə etmək.
Qauss üsulunun mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir.
Birinci addım olaraq sistemin I tənliyindən başqa qalan tənliklərin hamısından x1 məchulu yox edilir. Bu tənlik “aparıcı tənlik” adlanır.

İkinci addım olaraq sistemin II tənliyindən başqa qalan tənliklərin hamısından x2 məchulu yox edilir. Növbəti addımda x3, x4 ,… məchulları yox edilir. Sonuncu addımda sistemdəki tənliklərin və məchulların sayından asılı olaraq ya üçbucaqşəkilli , ya da trapesiyaşəkilli sistem alınır. Əgər sistemdəki tənliklərin sayı ilə məchulların sayı eynidirsə alınan sistem üçbucaqşəkilli, sistemdəki tənliklərin sayı məchulların sayından azdırsa trapesiyaşəkilli sistem alınır.
Aydındır ki, üçbucaqşəkilli sistemdə axırıncı tənlik bir məchulludur. O, asanlıqla həll edilir, tapılan məchul özündən əvvəlki iki məchullu tənlikdə nəzərə alınır. Bu qayda ilə bütün məchullar tapılmış olur.
Əgər sistem trapesiyaşəkillidirsə, onda bu sistem qeyri-müəyyəndir. Belə ki, tənliklərin sayı qədər məchul əsas götürülür, qalan qeyri-əsas məchullar onlardan asılı olaraq tapılır.