Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılması

Müəllim: Ramazan Eyyubov
Tələbə: Tabıyeva Səbuhə
Qrup: 566İ

Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılması

şəklində olan sistem n məchullu m xətti tənliklər sistemi və ya xətti sistem adlanır, burada a_ij , b_i ( ) – ədədlərdir. Tənliklərin sağ tərəflərindəki ədədlərinin hamısı sıfra bərabər olarsa, onda həmin sistemə bircins xətti tənliklər sistemi deyilir. ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda (1) sisteminə bircins olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir. Sistemə daxil olan tənliklərin hər birini ödəyən qiymətlər çoxluğuna həmin sistemin həlli deyilir. Verilmiş sistemin həlli ola da bilər, olmaya da bilər; sistemin həlli varsa, ona uyuşan və ya birgə sistem, əks halda isə uyuşmayan və ya birgə olmayan sistem deyilir. Tənliklər sistemi uyuşan olduqda onun bir və ya birdən çox həlli ola bilər. Tənliklərin sayı məchulların sayına bərabər olanda sistemə kvadrat sistem deyilir.

Məchulların əmsallarından düzəlmiş matrisi A, sağ tərəfdəki məlum ədədlərdən düzəlmiş sütun-matrisi B, axtarılan məchullardan düzəlmiş sütun-matrisi isə X ilə işarə edək:

, , .
A matrisin sütunlarının sayı X matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olduqdan, AX hasilini tapa bilərik:
.
İlk tənliklər sisteminin sağ tərəfi B sütun-matrisin elementləridir və buna görə də matrislərin bərabərliyi şərtinə əsasən AX = B şəklində yazmaq olar. Yuxarıdakı AX tənliyinə matris-tənlik deyilir.
Tutaq ki, n məchullu n xətti tənliklər sistemi verilmişdir:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁,
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂,
. . . . . . . . . . . . . . . . (1)
a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n,

və məchulların əmsallarından düzəlmiş əsas matrisin determinatı

sıfırdan fərqlidir:



a₁₁ a₁₂ ... a_1n
A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n
a_n1 a_2n ... a_{nn (2)}

1. 
   sistemini ona ekvivalent olan matris tənliyi ilə əvəz edək:
   

AX=B (3)
Burada A – sistemin əsas matrisi, X və B isə sütun-matrislərdir.

x₁ b₁
X = x₂ , B = b₂ .
... ...
x_n b_n
A matrisinin ∆ determinantı sıfırdan fərgli olduğu üçün onun A^-1 tərs matrisi var. Tutaq ki, (1) sistemin həlli var, yəni (3) matris tənliyini eyniliyə çevirən X sütunu vardır. Bu halda (3) tənliyinin hər iki tərəfini soldan A^-1 matrisinə vursaq, alarıq:
A^-1(AX) = A^-1B (4)
Buradan üç matrisin hasilinin xassəsini və A^-1A = I (burada I vahid matrisdir) olduğunu nəzərə alsaq onda:
A^-1(AX) = (A^-1A)X = IX = X
Nəticədə, (4) düsturundan alırıq ki,
X = A^-1B (5)

Beləliklə, isbat etdik ki, (3) matris tənliyinin həlli varsa, onda o (5) münasibəti ilə birqiymətli təyin edilir.

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, (5) münasibəti ilə təyin edilən X sütunu doğrudan da (3) matris tənliyinin həllidir, yəni bu tənliyi eyniliyə çevirir. Doğrudan da, əgər X matrisi (5) münasibəti ilə təyin edilirsə, onda:
AX = A(A^-1B) = AA^-1B = IB = B.
Deməli, əgər A matrisinin determinantı sıfırdan fərgli olarsa, onda (5) münasibəti ilə təyin edilən (3) matris tənliyinin yeganə həlli vardır.