Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılması

Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli
Xətti cəbri tənliklər sisteminin ən universal və effektli həll üsullarından biri Qauss üsuludur. Bu üsula bəzən məchulları ardıcıl yoxetmə üsulu da deyirlər. Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həllində tənliklər sisteminin ekvivalentliyi (eynigüclüyü) nəzəriyyəsinin bu esul ilə bağlı olan bəzi məsələlərini qeyd edək. Yəni verilmiş xətti tənliklər sisteminin həlli və araşdırılması zamanı verilən sistem üzərində elə çevirmələr aparmaq olar ki, alınmış sistem əvvəlki sistemə nəzərən daha sadə şəkildə olur. Eyni zamanda əvvəlki sistemlə eynigüclü olur. Təniklər üzərində aparılan çevirmələrə elementar çevirmələr deyilir. Bu çevirmələr aşağıdakılardır:
1. Sistemin tənliklərindən bir və ya bir neçəsinin hər iki tərəfindəki bütün hədlərini ədədinə vurmaq və ya bölmək.
2. Sistemin tənliklərində hədlərin yerini dəyişmək.
3. Sistemin tənliklərinin yerini istənilən qayda ilə dəyişmək.
4. Sistemin ixtiyari bir tənliyini hər hansı bir ədədə vurub, nəticəni sistemin başqa bir tənliyi ilə toplamaq və ya çıxmaq.
Sadəlik üçün dördməchullu dörd xətti tənliklər sisteminə baxaq:
(1)
Tutaq ki, , əks halda olarsa, onda tənliklərin yerini elə dəyişirik ki, məchulunun əmsalı sıfırdan fərqli olsun.
Düz addım. Bu mərhələdə sistem pilləvari hala (xüsusi halda, üçbucaq hala) gətirilir.
Tənliklər üzərində elementar çevirmələr vasitəsi ilə birinci tənliyi saxlamaq şərti ilə sistemin qalan bütün tənliklərindən məchulunu yox edək. (1) sistemin birinci tən­li­yini -ə vurub və alınan tənlikdən ikinci tənliyi tərəf-tərəfə çıxaq, sonra birinci tənliyi -ə vurub alınan tənlikdən üçüncü tənliyi tərəf-tərəfə çıxaq və nəha­yət, birinci tənliyi -ə vurub alınan tənlikdən dördüncü tənliyi tərəf-tərəfə çıxsaq, nəticədə aşağıdakı sistemi almış olarıq:
(2)
Burada , birinci addımdan sonra əmsalların və sağ tərəflərin alınmış yeni qiymətləridir.
Analoji olaraq, olmasını nəzərə almaqla sistemin birinci və ikinci tənliklərindən başqa bütün qalan tənliklərindən məchulunu yox edək. Prosesi mümkün hala qədər bu qayda ilə davam etdirmək lazımdır. Əgər (1) sisteminin pilləvari hala gətirilməsi prosesində:

şəklində tənlik alınarsa, onda həmin tənliyi sistemdən kənar etmək lazımdır. Müəyyən addımlardan sonra sistemin heç olmasa bir tənliyi

şəklində olarsa, onda (1) sistemi uyuşan deyil.