Izoh: Agar teorema shartidagi limit qiymati d=0 yoki d=∞ bo‘lsa, unda mos ravishda R=0 yoki R=∞ bo‘ladi. Bu esa (6) darajali qator faqat x=0 nuqtada yoki butun (–∞, ∞) oralikda yaqinlashuvchi ekanligini ifodalaydi.
Misol sifatida
darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz. Bu yerda
an=(–1)n–1/n , an+1=(–1)n /(n+1)
bo‘lgani uchun
.
Demak bu qatorning yaqinlashish oralig‘i (–1, 1) bo‘ladi.
Bu qator yaqinlashuvini x=±1 chegaraviy nuqtalarda tekshiramiz. Agar x=–1 bo‘lsa, unda
uzoqlashuvchi qatorga ega bo‘lamiz , chunki qavs ichidagi garmonik qator uzoqlashuvchidir. x=1 bo‘lsa,
sonli qatorga ega bo‘lamiz. Bu qatorni, Leybnits alomatiga ko‘ra, yaqinlashuvchi ekanligini oldin ko‘rib o‘tgan edik. Demak, x=1 nuqtada berilgan darajali qator yaqinlashuvchi. Shunday qilib, qaralayotgan darajali qatorning yaqinlashish sohasi (–1, 1] yarim oraliqdan iborat.
Yaqinlashish radiusi uchun Koshi formulasi.Darajali qatorning yaqinlashish radiusini aniqlash uchun yana bir formulani keltiramiz.
4-TEOREMA (Koshi formulasi): Agar (6) darajali qator uchun
limit mavjud bo‘lsa, unda bu qatorning yaqinlashish radiusi
(12)
Koshi formulasi bilan topilishi mumkin.
Bu teorema ham oldingi teorema singari isbotlanadi va shu sababli uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.
(12) formula yordamida
darajali qatorning yaqinlashish radiusini topamiz:
.
Demak R=2 va darajali qatorning yaqinlashish oralig‘i (–2, 2) bo‘ladi. Bu qator x=±2 chegaraviy nuqtalarda uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas va buni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz.
(12) formula tatbig‘iga yana bir misol sifatida
darajali qatorni qaraymiz:
.
Demak, bu darajali qator faqat x=0 nuqtada yaqinlashuvchi.
