Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

§4. Funksional va DARAJALI QATORLAR

• 
  Funksional qatorlar.
  
• 
  Darajali qatorlar.
  
• 
  Yaqinlashish radiusi uchun Dalamber formulasi.
  
• 
  Yaqinlashish radiusi uchun Koshi formulasi.
  
• 
  Darajali qatorlarning xossalari.
  

1. 
   Funksional qatorlar. Oldingi paragrafda biz u_n (n=1,2,3,∙ ∙ ∙) cheksiz sonlar ketma-ketligidan tuzilgan sonli qatorlar bilan tanishgan edik. Endi bu tushunchani umumlashtirib, funksional qator tushunchasini kiritamiz.
   

1-TA’RIF: Agar u_n(x) , n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ , biror D sohada aniqlangan funksiyalarning cheksiz ketma-ketligi bo‘lsa, ulardan tuzilgan
(1)
qator funksional qator deb ataladi.
Masalan,

funksional qatorlar bo‘ladi.
Izoh: Agar u_n(x)= u_n=const. ( n=0,1,2,3,∙ ∙ ∙ ) deb olsak (1) funksional qator sonli qatorga aylanadi.
2-TA’RIF: Agar x=x₀=const. holda (1) funksional qatordan hosil bo‘ladigan
(2)
sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (1) funksional qator x=x₀ nuqtada yaqinlashuvchi deyiladi , bunday nuqtalar to‘plami esa uning yaqinlashish sohasi deb ataladi.
Masalan, yuqorida keltirilgan (a) va (b) funksional qatorlarning yaqinlashish sohasi (–∞ , ∞) bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x= x₀ uchun
.
Uchinchi (c) qatorning yaqinlashish sohasi (–1,1), chunki |x|=q<1 holda bu qator maxraji 0<q<1 bo‘lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlaridan tuzilgan qator bilan majorantalanadi. (d) funksional qator esa faqat x=0 nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lishiga Dalamber alomati yordamida ishonch hosil etish mumkin.
Agar (1) funksional qatorning yaqinlashish sohasi D bo‘lsa, unda har bir x=x₀D uchun (2) sonli qatorning yig‘indisi biror S(x₀) sonidan iborat bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki (1) funksional qator yaqinlashish sohasida biror S(x) funksiyani aniqlaydi. S(x) funksiya (1) funksional qatorning yig‘indisi deyilib,
, (3)
kabi ifodalanadi.
Masalan, funksional qator hadlari birinchi hadi b₁=1, maxraji esa q=x bo‘lgan geometrik progressiyani tashkil etadi. Shu sababli bu qator |q|=|x|<1 , ya’ni (–1,1) sohada yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S(x)=b₀/(1–q)=1/(1–x) funksiyadan iborat bo‘ladi.
(1) funksional qatorning dastlabki n+1 ta hadining yig‘indisini S_n(x) deb belgilaymiz. Agar bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S(x) bo‘lsa, (3) tenglikka asosan, S(x)= S_n(x)+ r_n(x) deb yozish mumkin. Bunda r_n(x)
(4)
ko‘rinishda bo‘lib, (1) funksional qatorning qoldig‘i deyiladi. Agar xD bo‘lsa, unda
, (5)
ya’ni yaqinlashuvchi funksional qator qoldig‘i n→∞ bo‘lganda nolga intiladi.

2.