Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

§6. darajali qatorlarning TATBIQLARI

• 
  Ildizlarning taqribiy qiymatini topish.
  
• 
  Funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblash.
  
• 
  Limitlarni hisoblash.
  
• 
  Elementar bo‘lmagan boshlang‘ich funksiyalarni topish.
  
• 
  Differensial tenglamalarni yechish.
  

Makloren qatorlari nazariy va amaliy masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Bu tatbiqlardan ayrimlarini qarab chiqamiz.

1. 
   Ildizlarning taqribiy qiymatini topish. Turli ko‘rinishdagi ildizlarning taqribiy qiymatini berilgan ε>0 aniqlikda topish uchun binomial qatorlardan foydalaniladi. Buni ildiz qiymatini ε=0.0001 aniqlikda hisoblash misolida namoyish etamiz. Buning uchun dastlab ildizni bizga qulay ko‘rinishda quyidagicha ifodalaymiz:
   

.
Bu yerdan ko‘rinadiki, berilgan ildizni hisoblash uchun binomial qatorda α=1/6 , x=1/16 deb olishimiz kerak. Bu holda ushbu ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorga ega bo‘lamiz:
.
Bu qator hadlarini 5 xona aniqlikda hisoblab,

taqribiy tenglikni olamiz. Bunda yo‘l qo‘yilgan xatolik, Leybnits alomatidan kelib chiqadigan natijaga asosan, 0.00002 sonidan katta emas va shu sababli ε=0.0001 aniqlik bilan bo‘ladi.

2. 
   Funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblash. Makloren qatorlari yordamida berilgan y=f(x) funksiyaning biror x=x₀ nuqtadagi taqribiy qiymatini talab etilgan ε>0 aniqlikda hisoblash mumkin. Buning uchun y=f(x) funksiyaning Makloren qatori x=x₀ nuqtani o‘z ichiga oluvchi biror (–R, R) oraliqda yaqinlashuvchi va bu yerda uning qoldiq hadi R_n(x) uchun (6) shart bajariladi, ya’ni deb olamiz. Bu holda
   

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikdan foydalanib
,
taqribiy formulani hosil etamiz. Bunda n qiymati, umumiy holda,
,
tengsizlikdan topiladi.
Bunga misol sifatida ixtiyoriy natural sonning logarifmini hisoblash formulasini topish masalasini ko‘ramiz. Bu maqsadda oldin ko‘rilgan
(1)
Makloren qatorida x o‘zgaruvchini –x bilan almashtirib,
, (2)
Makloren qatoriga ega bo‘lamiz. (1) va (2) Makloren qatorlari yordamida faqat (0,2] yarim oraliqda yotgan sonlarni logarifmini hisoblash mumkinligini ta’kidlab o‘tamiz. Bundan tashqari (1) yoki (2) darajali qatorlardan mos ravishda x=1 yoki x=–1 chegaraviy nuqtalarda hosil bo‘ladigan sonli qatorlar o‘zlarining S=ln2 yig‘indisiga juda sekin yaqinlashadi. Masalan, (1) darajali qatorda x=1 deb hosil qilinadigan sonli qator yordamida ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun bu qatordagi kamida 1000 ta qo‘shiluvchi yig‘indisini topish kerak.
Shu sababli bu yerda boshqacha yo‘l tutamiz. (1) va (2) Makloren qatorlarini hama-had ayirib, ushbu natijaga kelamiz:
. (3)
Bu yеrda x=1/(2m+1) , m=1,2,3,∙∙∙ , holda 0<x<1 va

bo‘ladi. Bu holda (3) Makloren qatoridan ushbu sonli qatorga ega bo‘lamiz:
.
Bu yerdan natural sonlarning logarifmlarini hisoblash uchun quyidagi rekurrent formulaga ega bo‘lamiz:
. (4)
Masalan, bu formulada m=1 dеb olsak
(5)
tenglik hosil bo‘ladi. Bunda ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun nechta qo‘shiluvchini olish kerakligini aniqlash maqsadida (5) musbat hadli sonli qatorning R_n qoldiq hadini baholaymiz:


.
Demak, (28) qatorning qoldiq hadi uchun
(6)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Undan

,
ya’ni ln2 qiymatini 0.001 aniqlikda hisoblash uchun (5) qatorda atigi uchta qo‘shiluvchini olish kifoya ekanligini ko‘ramiz. Demak,
.
Jadvaldan 5 xona aniqlikda ln2=0.69315 ekanligini ko‘rish mumkin. Bundan yuqoridagi ln2 uchun taqribiy tenglik uch xona aniqlikda ekanligi kelib chiqadi.

3. 
   Limitlarni hisoblash. Darajali qatorlarni limitlarni hisoblashga ham tatbiq etish mumkin. Buni quyidagi ikkita misolda namoyish qilamiz.
   

1) . Bu limitni hisoblash uchun f(x)=sinx va f(x)=e^x funksiyalarni ularning Makloren qatorlari bilan almashtiramiz:

.
2)
.

4.