Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Elementar bo‘lmagan boshlang‘ich funksiyalarni topish. Bizga ma’lumki, berilgan y=f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi y=F(x) aniq integral yordamida


formula orqali topilishi mumkin. Ammo har doim ham bu aniq integral elementar funksiyalarda ifodalanmaydi. Bunday hollarda F(x) boshlang‘ich funksiya darajali qatorlar orqali ifodalanishi mumkin. Buning uchun integral ostidagi f(t) funksiyaning Makloren qatorini topamiz va uni hadlab integrallaymiz. Buni quyidagi ikkita misolda ko‘rib chiqamiz.

• 
  Dastlab integral sinus deb ataluvchi ushbu funksiyaning ifodasini topamiz:
  

.
Buning uchun f(x)=sinx funksiyaning Makloren qatorida x o‘zgaruvchini t orqali belgilab va hosil bo‘lgan qatorni t ga bo‘lib, (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ushbu darajali qatorni hosil etamiz:
.
Bu darajali qatorni (0, x) oraliq bo‘yicha hadlab integrallab, integral sinus uchun (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ushbu darajali qatorga ega bo‘lamiz:
.

• 
  Endi Laplas funksiyasi deb ataladigan ushbu integralni qaraymiz:
  

.
Bu funksiyani darajali qator orqali ifodalash uchun f(x)=e^x funksiyaning Makloren qatorida x o‘zgaruvchini t² bilan almashtiramiz va hosil bo‘lgan qatorni hadlab integrallaymiz:
.

5. 
   Differensial tenglamalarni yechish. Agar berilgan differensial tenglamaning y umumiy yechimini aniq topish usuli bizga noma’lum yoki u elementar funksiyalarda ifodalanmasa, ayrim hollarda bu yechimni darajali qatorlar yordamida topish mumkin. Buning uchun bu yechim
   

(9)
darajali qator ko‘rinishida izlanadi. Bu yerdagi noma’lum C_n (n=0,1,2, ∙∙∙) koeffitsiyentlar darajali qatorni berilgan differensial tenglamaga qo‘yish va hosil bo‘lgan tenglikning ikki tomonidagi x o‘zgaruvchining bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish orqali topilishi mumkin. Bu usulni I tartibli ushbu
(10)
differensial tenglamaning umumiy yechimini topish misolida namoyish etamiz. Bu yechimni (9) darajali qator ko‘rinishida ifodalab va bu qatorni hadlab differensiallab, berilgan tenglamaga ko‘ra ushbu tenglikni hosil etamiz:

.
Bu yerdan C₁=0 va qolgan koeffitsiyentlar uchun ushbu tengliklarga ega bo‘lamiz:
.
Bu tengliklardan birin-ketin C_n koeffitsiyentlarni topib, ular uchun

formulaga ega bo‘lamiz. Demak, berilgan I tartibli differensial tenglama umumiy yechimi
(11)
darajali qator orqali ifodalanishini ko‘ramiz. Bu yerda C₀ ixtiyoriy chekli sonni ifodalaydi. Dalamber alomati yordamida (11) qator (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ekanligini o‘quvchi mustaqil ravishda tekshirib ko‘rishi mumkin.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan f(x)=e^x funksiyaning Makloren qatorida x o‘zgaruvchini –x²/2 bilan almashtirib

natijani olamiz. Bundan foydalanib (10) differensial tenglamaning (11) umumiy yechimini ko‘rinishda bo‘lishini topamiz.
Darajali qator yordamida Koshi masalasini ham yechish mumkin. Bunda yechim

ko‘rinishdagi darajali qator ko‘rinishida topiladi. Bu qatordagi x₀ va y⁽ⁿ⁾(x₀) , n=0,1,2,∙∙∙ , Koshi masalasining boshlang‘ich shartlari va differensial tenglama orqali birin-ketin aniqlanadi. Misol sifatida
(12)
Koshi masalasi yechimini darajali qator yordamida topamiz. Dastlab boshlang‘ich shart va berilgan differensial tenglamadan

ekanligini ko‘ramiz.
Endi berilgan tenglamani ikkala tomonini differensiallab va oldingi natijalardan foydalanib,

ekanligini topamiz. Xuddi shunday tarzda davom ettirib,

natijalarga erishamiz. Demak, (12) Koshi masalasining yechimi
(13)
darajali qator orqali ifodalanadi. Bu darajali qator ham (–∞, ∞) oraliqda yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish qiyin emas.