Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

§3. ISHORASI NAVBATLANUVCHI VA O‘ZGARUVCHI
SONLI QATORLAR

• 
  Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar.
  
• 
  Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar.
  
• 
  Absolut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar.
  

Oldingi paragrafda barcha hadlari musbat bo‘lgan sonli qatorlar qaralgan edi. Bu yerda hadlari ham musbat, ham manfiy ishorali bo‘lgan sonli qatorlarning yaqinlashuvini aniqlash masalasini qaraymiz.

1. 
   Ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlar. Dastlab hadlarining ishoralari turlicha bo‘lgan sonli qatorlarning maxsus bir holini ko‘rib chiqamiz.
   

1-TA’RIF: Barcha hadlari musbat bo‘lgan u₁, u₂ , ∙ ∙ ∙, u_n , ∙ ∙ ∙ sonli ketma-kеtlikdan tuzilgan
(1)
ko‘rinishdagi qator ishorasi navbatlashuvchi qator dеb ataladi.
Masalan,
, (2)
, (3)
(4)
ishorasi navbatlanuvchi qatorlar bo‘ladi. Bunday qatorlar yaqinlashuvini quyidagi teorema yordamida tekshirish mumkin.
1-TEOREMA (Leybnits alomati): Ishorasi navbatlashuvchi (1) qatorning hadlari absolut qiymatlari bo‘yicha monoton kamayuvchi va nolga intiluvchi, ya’ni
u₁ > u₂ > u₃ > ∙ ∙ ∙ > u_n > ∙ ∙ ∙ (5) va (6)
shartlarni qanoatlantirsin. Unda bu qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S uchun 0 u₁ qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: (1) qatorning dastlabki n=2m ta (m=1,2,3, ∙ ∙ ∙) hadidan hosil qilingan S_2m xususiy yig‘indilar ketma-ketligini qaraymiz:
.
Teoremadagi (5) shartga asosan bu yig‘indida har bir qavs ichidagi ifoda musbatdir. Bu yerdan S_2m>0 va monoton o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi. Endi S_2m xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:
.
Bunda, (5) shartga ko‘ra, har bir qavs ichidagi ifoda musbat va shu sababli S_2m<u₁ bo‘ladi. Shunday qilib, S_2m xususiy yig‘indilar ketma-ketligi monoton o‘suvchi va yuqoridan u₁ soni bilan chegaralangan. Bundan limit mavjud va 0<S≤u₁ ekanligi kelib chiqadi. Bu bilan teorema tasdig‘i faqat n=2m hol uchun isbotlandi. Agar n=2m+1 bo‘lsa, unda teoremadagi (6) shart va oldingi natijadan foydalanib, ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:
.
Demak, limit mavjud, ya’ni ishorasi navbatlanuvchi (1) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 0<S≤u₁ bo‘ladi. Teorema isboti yakunlandi.
Masalan, yuqorida keltirilgan (2) va (3) ishorasi navbatlanuvchi qatorlar Leybnits alomatidagi ikkala shartni ham qanoatlantiradi va shu sababli ular yaqinlashuvchi bo‘lib, ularning yig‘indilari u₁=1 sonidan katta bo‘lmaydi. Kelgusida [§5, (22) ga qarang] (2) qator yig‘indisi S=ln2 , (3) qator yig‘indisi esa [§6, (7) ga qarang] S=π/4 ekanligini ko‘ramiz. Ishorasi navbatlanuvchi (4) qator uchun Leybnits alomatining (6) sharti bajariladi, ammo bu qator hadlari monoton kamayuvchi emas, ya’ni (5) shart bajarilmaydi. Shu sababli bu qator uchun Leybnits alomatini qo‘llab bo‘lmaydi. Bu qatorni tekshirish uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
.
Bu yerdan ko‘rinadiki (4) qator uzoqlashuvchi, chunki u garmonik qatorni ikkiga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan.

2.