Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Koshi alomati. Musbat hadli sonli qatorlarning yaqinlashuvini aniqlashga yordam beradigan yana bir alomat bilan tanishamiz.

4-TEOREMA (Koshi alomati): Berilgan musbat hadli sonli qator uchun
(5)
limit mavjud bo‘lsin. Bu holda k<1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi, k>1 bo‘lganda esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti ham Dalamber alomati isbotiga o‘xshash va shu sababli uni o‘quvchiga mustaqil ish sifatida qoldiramiz.
Izohlar: 1. Agar k=1 bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.
2. Agar bo‘lsa , ko‘rilayotgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi .
Masalan, ushbu musbat hadli

sonli qator yaqinlashuvchidir. Haqiqatan ham bu qator uchun

va, Koshi alomatiga ko‘rа, qator yaqinlashuvchi.

4. 
   Integral alomati. Koshi tomonidan musbat hadli sonli qatorlarni tekshirish uchun yana bir alomat kiritilgan. Unda integral tushunchasidan foydalanilganligi uchun integral alomati deb yuritiladi.
   

5-TEOREMA (Qator yaqinlashishining intеgral alomati): Berilgan musbat hadli sonli qatorning hadlari o‘smovchi ketma-ketlikni tashkil etsin, ya’ni
и₁  и₂ ∙ ∙ ∙ и_n  и_n+1  ∙ ∙ ∙
shart bajarilsin. Bundan tashqari x≥1 sohada aniqlangan, uzluksiz, o‘smovchi va
f(1) = и₁ , f(2) = и₂ , ∙ ∙ ∙ , f(n) = и_n , ∙ ∙ ∙
shartlarni qanoatlantiruvchi f(x)≥0 funksiya mavjud bo‘lsin. Bu holda berilgan sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun xosmas intеgral yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot: Tеorеma shartlaridan foydalanib, k≤x≤k+1 (k=1,2,3, ∙∙∙) bo‘lganda quyidagi tengsizliklarni hosil etamiz:


. (6)
Bu yerda S_n , S_n(f) (n=1,2,3, ∙∙∙) monoton o‘suvchi ketma-ketliklar bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz.
I. xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati S(f) bo‘lsin. Unda , xosmas integral ta’rifiga asosan (VIII bob, §7, (2) ga qarang), mavjud va chekli bo‘ladi. Bu yerdan barcha n=1,2,3, ∙∙∙ uchun S_n(f)< S(f) ekanligi kelib chiqadi. Unda, (6) tengsizlikning chap tomoniga ko‘ra,
S_n+1≤ S_n(f)+u₁< S(f)+u₁ natijaga kelamiz. Bundan berilgan sonli qatorning barcha xususiy yig‘indilari yuqoridan chegaralangan va shu sababli mavjud hamda chekli ekanligi kelib chiqadi. Bu esa sonli qatorni yaqinlashuvchi ekanligini ifodalaydi.
II. Endi sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi S bo‘lsin. Unda barcha n=1,2,3, ∙∙∙ uchun S_n<S tengsizlik bajariladi. Shu sababli, (6) tengsizlikning o‘ng tomoniga asosan, S_n(f)≤ S_n < S ekanligini ko‘ramiz. Bu yerdan esa mavjud va chekli, ya’ni xosmas integral yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Bu bilan teorema to‘liq isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
NATIJA: sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lishi uchun teoremadagi xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lishi zarur va yetarlidir.

5.