Xi bob. Qatorlar nazariyasi elementlari

Umumlashgan garmonik qatorlar. Integral alomatning tatbig‘iga misol sifatida umumlashgan garmonik qator deb ataluvchi ushbu

(7)
musbat hadli qatorni tekshiramiz. Bu yerda p parametr ixtiyoriy haqiqiy qiymatni qabul qilishi mumkin deb olamiz. Bunda p=1 bo‘lganda (7) oldin ko‘rib o‘tilgan (§1, (11) misolga qarang) garmonik qatorni ifodalaydi.
Agar p≤0 bo‘lsa (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi, chunki bu holda bo‘lib, qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmaydi.
p>0 holda (7) sonli qator uchun f(x)=1/x^p (x≥1) funksiya teoremadagi barcha shartlarni qanoatlantiradi. Shu sababli (7) sonli qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi

xosmas integral yaqinlashuvchiligiga teng kuchlidir. Bu xosmas integral qiymatini uning ta’rifi bo‘yicha uch holda alohida-alohida hisoblaymiz.

• 
  0<p<1. .
  

Demak, bu holda (7) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Jumladan,

kabi qatorlar uzoqlashuvchidir.

• 
  p=1 . .
  

Bu yerdan garmonik qator uzoqlashuvchi ekanligiga yana bir marta ishonch hosil etamiz.

• 
  p>1.
  

= .
Demak, bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xususan,

sonli qatorlar yaqinlashuvchidir.
Shunday qilib, (7) umumlashgan garmonik qator p≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi, p>1 holda esa yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, (7) sonli qator yaqinlashuvini Dalamber va Koshi alomatlari orqali tekshirib bo‘lmaydi, chunki bu holda d=1 va k=1 bo‘ladi.
Umumlashgan garmonik qatorlar turli sonli qatorlarning yaqinlashuvchi ekanligini taqqoslash alomatlari yordamida aniqlashda majoranta qator sifatida keng qo‘llaniladi.


XULOSA

Qatorlar nazariyasining asosiy masalalaridan biri berilgan sonli qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlashdan iboratdir. Oldin bu masalani qisman yechib, qator yaqinlashuvining zaruriy shartini aniqlagan, ammo uni yetarli emasligini ko‘rgan edik. Shu sababli qator yaqinlashuvining zaruriy shartlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Barcha hadlari (yoki chekli sondagi hadlaridan tashqari barcha hadlari) musbat bo‘lgan qatorlar uchun bu masalani taqqoslash, Dalamber, Koshi va integral alomatlari yordamida hal etish mumkin. Umumlashgan garmonik qatorlar uchun ularning yaqinlashish sharti integral alomati orqali aniqlanadi Bu qator boshqa qatorlarning yaqinlashuvini taqqoslash alomati yordamida tekshirishda keng qo‘llaniladi.

Tayanch iboralar

* Musbat hadli sonli qator * Taqqoslash alomati * Limitik taqqoslash alomati * Majoranta qator * Dalamber alomati * Koshi alomati * Integral alomati * Umumlashgan garmonik qator

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Qanday sonli qator musbat hadli deyiladi?
   
2. 
   Musbat hadli sonli qatorlarga misollar keltiring.
   
3. 
   Taqqoslash alomatining mohiyati nimadan iborat?
   
4. 
   Limitik taqqoslash alomati qanday ifodalanadi?
   
5. 
   Majoranta qator nima?
   
6. 
   Dalamber alomati yordamida qator yaqinlashuvi qanday tekshiriladi?
   
7. 
   Koshi alomati nimadan iborat?
   
8. 
   Qator yaqinlashuvining integral alomati qanday ifodalanadi?
   
9. 
   Umumlashgan garmonik qator qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
   
10. 
    Qaysi holda umumlashgan garmonik qator yaqinlashuvchi bo‘ladi?
    
11. 
    Umumlashgan garmonik qatordan qanday foydalaniladi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Quyidagi qatorlardan qaysi biri musbat hadli bo‘ladi?
   

A) ; B) ; C) ; B) ;
E) keltirilgan barcha qatorlar musbat hadli emas.

2. 
   Musbat hadli sonli qatorni Dalamber alomati orqali tekshirish uchun qaysi limit hisoblanadi?
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) .

3. 
   Musbat hadli sonli qatorni Koshi alomati orqali tekshirish uchun qaysi limit hisoblanadi?
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) .

4. 
   Musbat hadli sonli qatorni integral alomati orqali tekshirish uchun tanlanadigan f(x) funksiyaga qaysi shart qo‘yilmaydi?
   

A) f(x)≥0; B) f(x) funksiya x≥1 sohada aniqlangan;
C) f(n)=u_n (n=1,2,3,∙∙∙); D) f(x) funksiya o‘smovchi;
E) f(x) funksiyaga keltirilgan barcha shartlar qo‘yiladi.


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   Musbat hadli sonli qator yaqinlashuvini Dalamber alomati yordamida tekshiring.
   
2. 
   Musbat hadli sonli qator yaqinlashuvini Koshi alomati yordamida tekshiring.
   
3. 
   Musbat hadli sonli qator yaqinlashuvini integral alomati yordamida tekshiring.