Xosmas integrallar. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar. Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas integrallari. Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari

y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali

(1)

deb belgilanadi va , ta’rifga asosan,

(2)

kabi aniqlanadi.

Geometrik nuqtai nazardan (1) xosmas integral y=f(x) [f(x)≥0], x=a va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz shaklning yuzasini ifodalaydi.

 

I va II TUR XOSMAS INTEGRALLAR

I va II TUR XOSMAS INTEGRALLAR

2-TA’RIF: Agar (2) limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda (1) xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.

(1) xosmas integralni qarashda ikkita masala paydo bo‘ladi.

I. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash;

II. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lgan holda uning qiymatini topish.

Misol sifatida ushbu I tur xosmas integralni qaraymiz:

(3)

Bu integralni uch holda tahlil etamiz.

Dastlab α>1 holni qaraymiz. Bu holda xosmas integral ta’rifi va Nyuton – Leybnits formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:

Demak, bu holda qaralayotgan (3) xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati bo‘ladi.

 

I va II TUR XOSMAS INTEGRALLAR

• Endi α=1 holni tahlil etamiz:

Demak, bu holda (3) xosmas integral uzoqlashuvchi.

 

• α=0 holni ko‘rib chiqamiz:

 

Demak, bu holda ham (3) xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.

Shunday qilib, (3) xosmas integral α>1 holda yaqinlashuvchi, aks holda, ya’ni α≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, tekislikdagi

chiziqlar bilan chegaralangan yarim cheksiz geometrik shakllar α>1 holda qiymati S=a1–α /( α–1) bo‘l gan chekli yuzaga ega