Yuqori tartibli differensial tenglamalar


Agar (4.3) tenglamaning y1 va y2 yechimlari chiziqli erkli bo’lsa , bu yechimlardan tuzilgan W(y1,y2) - Vronskiy determinanti xech bir nuktada nolga aylanmaydi



Yüklə 132,12 Kb.
səhifə3/6
tarix22.12.2023
ölçüsü132,12 Kb.
#190523
1   2   3   4   5   6
Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Agar (4.3) tenglamaning y1 va y2 yechimlari chiziqli erkli bo’lsa , bu yechimlardan tuzilgan W(y1,y2) - Vronskiy determinanti xech bir nuktada nolga aylanmaydi.


(4.3) tenglamani integrallashga kirishamiz. Yuqoridagi 1-teoremaga ko’ra bu tenglama umumiy yechimi uning


2ta chiziqli erkli xususiy yechimlari yig’indisidan iborat.
Xususiy yechimni
,k-const
ko’rinishda izlaymiz:
Xosilalarni (4.3) ga qo’yib
( k2 +a1k+a2)ekx=0
yoki
k2 +a1k+a2=0
tenglamani xosil qilamiz.
Bu tenglama (4.3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.



berilgan (4.8) xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lsin.

1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k1 va k2 haqiqiy va xar xil sonlar bo’lsin. Bu xolda


y1 =ek x va y2 =ek x
funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi.

bo’lgani uchun ular chiziqli bog’liq emas.
Demak, umumiy yechim
y =c1ek x + c2ek x .

ko’rinishda bo’ladi.


Misol.
y’’+y-2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish.
Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz:
k2+ k-2=0
Uni yechib, k1=1 va k2=-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
y =c1ex + c2e-2x .

2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k1 va k2 haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: k1=k2.


Bu xolda k1=k2= .
Bitta hususiy yechim ma’lum
y1 = ek x = e

Ikkinchi xususiy yechimni y2 =u(x)ek x shaklda izlaymiz:


y2 =(u (x) + k1 u(x))ek x ,


y2 ’’ =(u’’ (x) +2k1 u(x) + k21 u(x))ek x .
Bularni (4.3) ga qo’yib va soddalashtirib

(u’’ (x) +(2k1+a1) u’(x) + (k21+k1a1+a2) u(x))ek x =0


xosil qilamiz.


k1= bo’lganda 2k1+a1 =0 va k1- xarakteristik tenglama karrali ildizi bo’lganidan

u’’ (x) ek x = 0 yoki u’’ (x) = 0.


Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz.


Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x.
Demak, ikkinchi xususiy yechim y2 =xek x ko’rinishda buladi.
Demak, bu xolda umumiy yechim

Yüklə 132,12 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin