Yuqori tartibli hosilalar

2. Leybnits formulasi.
Agar u(x) va v(x) funksiyalar n-tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, u holda bu ikki funksiya ko‘paytmasining n -tartibli hosilasi uchun

+ (9)
formula o‘rinli bo‘ladi. Bunda .
Isboti. Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Ma’lumki,
(uv)’=u’v+uv’. Bu esa n=1 bo‘lganda (9) formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatadi. Shuning uchun (9) formulani ixtiyoriy n uchun o‘rinli deb olib, uning n+1 uchun ham to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. (9) ni differensiyalaymiz:

+ (10)
Ushbu

=
tengliklardan foydalanib, (10) ni quyidagicha yozamiz:

Demak, (9) formula n+1 uchun ham o‘rinli ekan. Isbot etilgan (9) formula Leybnits formulasi deb ataladi.
3. Leybnits formulasi tatbiqlari.

Misol. y=x³e^x ning 20-tartibli hosilasi topilsin.

Yechish. u=e^x va v=x³ deb olsak, Leybnits formulasiga ko‘ra

bo‘ladi. (x³)’=3x², (x³)’’=6x, (x³)’’’=6, (x³)⁽⁴⁾=0 tengliklarni va y=x³ funksiyaning hamma keyingi hosilalarining 0 ga tengligini, shuningdek n uchun (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x ekanligini e’tiborga olsak,
tenglik hosil bo‘ladi.
Endi koeffitsientlarni hisoblaymiz:

Demak,



Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O‘zbekiston». 1 t: 2005, 2 t . 1995
2. Fixtengols G. M. „Kurs differensialnogo i integralnogo ischeleniya“ M.: 1970.
3. Sa’dullayev A. va boshqalar. Matematik analiz kursi misol va masalalar to`plami. T., «O‘zbekiston». 1-q. 1993., 2-q. 1995.
4. Demidovich B. P. “Sbornik zadach i uprajneni po matematicheskomu analizu” T.: 1972.
5. Ilin V. A., Poznyak E. G. “Maematik analiz asoslari” I qism, T.: 1981.