Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

3. Yaqinlashish tezligini baholash. Faraz qilaylik, (1) differensial masalaning yechimi u bo’lib esa (14), (8) ayirmali masalaning yechimi bo’lsin, r^k = { } orqali esa approksimatsiyaning xatoligini belgilaymiz (q. (16), (17)). Agar biz u^(h) orqali aniq yechimning to’rdagi qiymatini belgilasak, u holda z = u^(h) - ayirma yechimning to’r ustidagi xatoligi bo’lib,

tenglamani qanoatlantiradi. Agar = f (x_i, t_k + ) deb olsak, u holda

masalaning yechimi bo’ladi. Agar qaralayotgan masala turg’un bo’lsa, u holda (27) baho o’rinli bo’ladi. Bundan esa
kelib chiqadi. Shunday qilib, _l yaqinlashish tezligi 0(τ + h²) bo’ladi, agar σ = 0,5 bo’lsa.
Mashq. Ushbu
+ = 2x
tenglamaning quyidagi
u(x,0) = x(1-x) (0 ≤ x ≤ 1),
u (0, t) = 0, u(1,t) = 1 (0 ≤ t ≤ T)
boshlang’ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan taqribiy yechimi topilsin hamda natija u(x,t) = = x(1-x+t) aniq yechim bilan solishtirilsin.
4.Ayirmali sxema qurishning balans metodi. Issiqlik o’tkazuvchanlik, diffuziya, tebranish va h.k. turli xil fizik jarayonlar issiqlik, massa, harakat miqdori, energiya va h.k. saqlanishning integral formadagi qonunlari bilan tavsiflanadi. Matematik fizikaning differensial tenglamalarini chiqarishda kichik hajm uchun saqlanish qonunini ifodalovchi muayyan integral munosabatdan (balans tenglamasidan) ishni boshlashadi. Tenglamada qatnashadigan funksiyalarning barcha kerakli hosilalarini mavjud deb faraz qilib va balans tenglamasidagi hajmlarni nolga intiri, differensial tenglama hosil qilinadi. Chekli-ayirmali metodnng fizik manosi shundan iboratki, biz uzluksiz muhitdan uning qandaydir diskret modeliga o’tamiz. Tabiiyki, bunday o’tishda fizik jarayonning asosiy xossalari saqlanishini talab qilish kerak. Bunday xossalar qatorida, birinchi navbatda, saqlanish qonunlari turadi. To’r sohada saqlanish qonunlarini ifodalaydigan ayirmali sxemalar konservativ sxemalar deyiladi. Konservativ ayirmali sxemalarn I hosil qilish uchun to’r sohada elementar hajm uchun yozilgan balans tenglamalarida qatnashadigan integrallarni va hosilalarni taqribiy ayirmali ifodalari bilan almashtirish kerak. Konservativ ayirmali sxemalarni hosil qilishning bunday usuli balans metodi yoki integral-interpolyatsion metod deyiladi. Balans metodini qo’llashga misol sifatida issiqlik o’tkazuvchanlikning statsionar tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz:
(p(x) -q(x)u+f(x) = 0, 0 < x < 1, (29)
u(0) = ,u(1) = , (30)
bunda p(x), q(x), f(x) lar yetarlicha silliq funksiyalar bo’lib, p(x) ≥ p₀ > 0, q(x) ≥ 0 shartlarni qanoatlantiradi, va esa berilgan sonlar. Bu shartlar bajarilganda (29), (30) chegaraviy masala yagona yetarlicha silliq u(x) yechimga ega bo’ladi. Ayirmali sxema qurish uchun [0,1] kesmada muntazam
ω_h = {x_i = ih, i = o,1,…, N, hN = 1}
to’rni olamiz. Quyidagi

belgilashlarni kiritib, (29) tenglamani

oraliqda integrallaymiz, natijada

(31)

Tenglama hosil bo’lib, u kesmada issiqlikning balans
t englamasini aniqlaydi. Endi

integralning uning

taqribiy qiymati bilan almashtirib, quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

(32)
N atijada, (31) tenglama

(33)
k
o’rinishga ega bo’ladi. Endi ni u (x) ning to’r nuqtalaridagi qiymatlari orqali ifodalaymiz. Buning uchun = ifodani [x_i-1, x_i] kesmada integrallaymiz, natijada
(34)
h osil bo’ladi. Agar

(35)
deb belgilab olsak, (34) dan quyidagintaqribiy tengliklarni hosil qilamiz:

Bu ifodalarni (33) tenglamaga qo’yib, izlanayotgan funsiyaning x_i-1, x_i, x_i+1 nuqtalardagi qiymatini o’z ichiga olgan ushbu

(36)
Ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz. (36) tenglamani ω_h to’r sohaning barcha ichki nuqtalari, ya’ni i = 1, 2, …, N-1 tenglamalar sisstemasiga ega bo’lamiz. Ikkita yetmagan tenglamani (30) dastlabki shartdan hosil qilamiz:

u₀ = , u_N = (37)
Ayirmali masalaning yechimini differensial masalaning yechimidan farq qilish uchun uni y orqali belgilaymiz, demak, y_i = y(x_i), x_i ω_h. Endi (36), (37) tenglamalarni birlashtirib, (29), (30) chegaraviy masala uchun quyidagi ayirmali sxemaga ega bo’lamiz:
[a_i+1(y_i+1 - y_i) – (y_i – y_i-1)] – d_iy_i +φ_i = 0
i = 1, 2, … , N-1
y₀ = , y_N = (38)
Bu sistemani haydash metodi bilan yechish maqsadga muvofiq bo’ladi. Buning uchun (38) sistemani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

bunda

Chegaraviy masalaning koeffitsientlariga qo’yilgan shartlardan a_i >0 va d_i ≥ 0 kelib chiqadi, bulardan esa C_i ≥ A_i +B_i ni, ya’ni haydash metodining turg’unlik shartini hosil qildik. Demak, (38) ayirmali masala yagona yechimga ega va bu yechimni haydash metodi bilan toppish mumkin.

Endi (29) differensial tenglamani (38) ayirmali tenglama bilan almashtirganda yuzaga keladigan appproksimatsiya xatoligini tekshiramiz. Buning uchun (29) tenglamaning chap tomonini Lu(x) va (38) tenglamaning chap tomonini L_hy_i orqali belgilaymiz, ya’ni

Faraz qilaylik, ϑ(x) yetarlicha silliq funksiya bo’lib, ϑ_i = ϑ(x_i) uning ω_h to’rdagi qiymati bo’lsin. Endi

L_hϑ_i - Lϑ(x_i) = 0(h²) (39)
Baho o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun L_hϑ_i operator tarkibidagi = ϑ(x_i h) ni x_i nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz. Ravshanki,


Demak,
I kkinchi tomondan

B u munosabatlardan

ni hosil qilamiz. (39) shart bajarilishi uchun
(40)
(41)
tengliklar o’rinli bo’lishi kerak.
Endi k(x) = deb belgilaymiz va k (x) ni nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz, natijada


hosil bo’ldi. Demak,

S hunga o’xshash

B ulardan esa

larga ega bo’lamiz, bular esa (39) ni isbotlaydi. (41) tengliklarning bajarilishini ko’rsatish qiyin emas. Haqiqatan ham, d_i va φ_i ni mos ravishda q(x_i) va f(x_i) bilan almashtirish (32) integralni o’rta tugunli to’g’ri burchakli to’rtburchak formulasi bilan hisoblashdan iboratdir. Ma’lumki, bunday formulaning qoldiq hadi 0(h²). Shunday qilib, biz (40), (41) tengliklarni vas hu bilan birga (39) bahoni ko’rsatdik. Bu esa L_hy_i operator Lu(x) ni (29), (30) masalaning yechimida h ga nisbatan ikkinchi tartibli approksimatsiya qilishini ko’rsatadi.
1-eslatma. (38) ayirmali sxemani amalda qo’llash, uning koeffitsientlarini toppish uchun (32) va (35) integrallarni aniq hisoblash shart emas. Koeffitsientlarni toppish uchun 0(h²) yoki bundan yuqori aniqlikka ega bo’lgan kvadratur formulalar bilan taqribiy hisoblash mumkin. Masalan, (32) va (35) integrallarga to’g’ri to’rtburchaklar formulasini qo’llasak, koeffitsientlar quyidagicha topiladi: d_i = q(x_i), va φ_i = f(x_i), a_i=p( ).
Agar trapetsiyalar formulasini qo’llasak,

larni hosil qilamiz.

Ko’rsatish mumkinki, (38) ayirmali masalaning yechimlari ketma-ketligi {y_h(x_i)} h 0 da C(ω_h) to’rli fazoda dastlabki (29), (30) differensial masalaning u(x) yechimiga ikkinchi tartib bilan yaqinlashadi, boshqacha qilib aytganda,

baho o’rinli bo’ladi

2-eslatma. Balans metodini boshqa chegaraviy masalalar uchun ham qo’llash mumkin. Bundan tashqari, p(x), q(x), f(x) funksiyalar uzulishga ega bo’lgan holda ham ayirmali sxemaning yaqinlashishini tekshirish uchun koeffitsiyentlarni (32) va (33) integrallar orqali ifodalash katta ahamiyatga ega.