Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

2. Ikki qatlamli ayirmali sxemalarning turg’unligini tekshisrish.
Q ulaylik uchun quyidagi vektorlarni kiritamiz:

Ushbu (x₀, t_k), (x_1, t_k), . . . , (x_m, t_k) tiginlar to’plamini k – qatlam deymiz, shuning uchun ham y_k va φ_k vektorlarni u^h va φ^h funksiyalarning k - qatlamdagi qiymatidek qarash mumkin. Quyidagi normalarni kiritamiz:

Ta’rif. Ayirmali sxema C fazoning to’rdagi normasida turg’un deyiladi, agar h va τ ga bog’liq bo’lmagan shunday o’zgarmas c₁ son topilib, uning uchun

(18)

baho o’rinli bo’lsa.

Endi (7),(8) ayirmali sxemaning turgunligini tekshiramiz.
1-teorema. Agar τ≤h²/2 bo’lsa, u holda (7),(8) ayirmali sxema C fazoning to’rdagi normasida turg’undir.
Isboti. (7) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
=(1-2ρ) +ρ +ρ +τ
bunda Agar ga ichki ( ) nuqtada erishilsa u holda
= ρ τ │≤
≤(1-2ρ)║ ║+2ρ║ ║+τ║ ║=║ ║+ τ║ .
Aks holda
=max(│ │,│ │)≤max(║ )║,║ ║)
Demak,

Endi (7),(8) masalaning yechimini
y^k = +
ko’rinishda yozib olamiz, bunda (7),(8) masalaning o’ng tomoni =0 bo’lgandagi yechimi, esa (7),(8) masalaning chegaraviy va boshlang’ich shartlari nolga teng bo’lgan yechimi. (19) ga ko’ra uchun quyidagini hosil qilamiz:

Ikkinchi tomondan uchun (19)ga ko’ra

bu yerda (k+1)τ≤ Tdan foydalandik. Shunday qilib, quyidagiga ega bo’lamiz:

bunda =max(l,T). Bu tengsizlik barcha k, 0 ≤ k ≤ N uchun o’rinli, demak ayirmali sxema Cfazoning to’rdagi normasi uchun turg’un ekan. Teorema isbotlandi.