Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

T a’ r i f. Ayirmali sxema shartli ravishda turg’un deyiladi, agar to’r qadamlari τ va h orasida biror munosabat o’rinli bo’lganda y turg’un bo’lsa. Agar to’r qadamlari τ va h orasida ixtiyoriy munosabatlar bo’lganda ham ayirmali sxema turg’un bo’lsa, u holda y shartsiz ravishda turg’un deyiladi.
Yuqoridagi teoremada turg’unlikni τ≤h²/2 shart bajarilganda isbotladik. Demak, (7), (8) sxema shartli ravishda turg’un ekan. (7), (8) sxema oshkor bo’lganligi uchun hisoblash juda qulay. Navbatdagi qatlamda vektor oshkor formulalar yordamida oldingi qatlamda topilgan vektor bo’yicha hisoblanadi. Ammo bu sxemaning shartli ravishda turg’unligi τ qadamni juda kichik qilib olishga majbur qiladi. Masalan, h = 0,01 bo’lsa τ ≤ 0,005 bo’lib T = 1 da yechimni toppish uchun kamida 20 000 ta qatlam olish kerak. Bu esa juda ko’p hisoblashlarni talab qiladi va amaliy ishlarda yaramaydi.
Endi (9), (10) oshkormas sxemaning turg’unligini tekshiramiz.
2-t e o r e m a. ixtiyoriy h va τ qadamlarda (9), (10) masalaning yechimi uchun (18) baho o’rinlidir.
I s b o t i. Oldingi teoremaning isbotidagiga o’xshash (9) ifodani quyidagicha yozamiz:
(20)
Qiymatli moduli bilan ║ ga teng bo’lgan larning orasida i indeksi eng kichik qiymatni qabul qiladiganini olamiz. Agar i = 0 yoki i=M bo’lsa, u holda (19) ning bajalishi Ravshan. Faraz qilaylik, endi i 0 va i bo’lsin, u holda i ning ta’rifiga ko’ra va Shuning uchun ham
va sign Demak,

Shunday qilib, barcha h va τ qadamlarda (8), (9) sxema uchun (19) bahoga ega bo’ldik. Isbotning qolgan qismi 1-teoremaning isbotidek tugaydi. Shunday qilib, (8), (9) sxema shartsiz ravishda turg’un ekan.
Oshkormas sxemaning shunisi yaxshiki, vaqt bo’yicha τ qadamni ancha katta qilib olish mumkin, ammo qatlamdan qatlamga o’tishda uch diagonally tenglamalar sistemasini yechishga to’g’ri keladi. Biroq bir o’lchovli hol uchun bu qiyinchilik tug’dirmaydi. Xususiy holda ma’lum bo’lsa, haydash usuli bilan 0 (M) ta amal bajarib, vektorni topib olish mumkin, ya’ni qatlamdan qatlamga o’tishda arifmetik amallarning soni taqriban oshkor sxemadagidek bo’ladi. Bundan ko’ramizki, amalda oshkormas sxemani ishlatish ma’quldir, chunki EHM da hisoblanganda mashina vaqtini tejaydi.
Endi (14) vazniy sxemani tekshirishga o’tamiz. Ayirmali sxemalar nazariyasida matritsa bilan bu matritsa yaratadigan operatorni farq qilishmaydi. Bundan keyin biz ham shunday qilamiz. Biz orqali (0, ) vektorga (0, ) vektorni mos qo’yadigan operatorni (matritsani) belgilaymiz. Agar = =0 deb olsak, u holda (14) ayirmali sxema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:


Yoki

S hunday qilib, (14) tenglamalar sistemasi

Ko’rinishda yoziladi. Bunda qatlamdan qatlamga o’tish matritsasi

Dan iboratdir. Faraz qilaylik, S matritsaning xos sonlari dan iborat bo’lsin. S matritsa simmetrik bo’lganligi uchun = munosabat o’rinlidir. Endi ni S matritsaning xos funksiyalari bo’yicha Furyening chekli qatoriga yoyamiz:

Ravshanki,

Shunday qilib,

(n= 1, 2, … , M -1) ga teng. Demak, S matritsaning xos sonlari

bo’ladi. Shuning uchun ham

Bundan ko’ramizki, (14) sxema turg’un bo’lishi uchun tengsizlik bajarilishi kerak. Demak, biz σ va τ larga nisbatan shunday shartlarni topishimiz kerakki,


tengsizliklar o’rinli bo’sin. Agar τ > 0 bo’lsa, u holda > 0 bo’lganligi uchun yuqoridagi tengsizlik τ (1-2σ) < 2 munosabat bilan teng kuchli bo’ladi. Agar σ ≥ bo’lsa, oxirgi tengsizlik barcha τ > 0 lar uchun bajariladi. Agar σ < bo’lsa, u holda
(21)

bo’lishi kerak.

Shunday qilib, (14), (8) ayirmali sxema dastlabki ma’lumotlarga nisbatan turg’unligining yetarli shartlarini o’rnatdik. Jumladan, bo’lsa, u holda σ ≥ bo’lganda (14), (8) ayirmali sxema shartsiz ravishda turg’un bo’lib, σ < bo’lganda (14), (8) sxema (21) shart bajarilganda turg’un, ya’ni shartli ravishda turg’un bo’ladi.
Agar differentsial operator yoki chegaraviy shartlar biz qaragan (1),(2),(3) chegaraviy masalaga nisbatan murakkab bo’lsa, u holda ayirmali masala ham murakkab bo’ladi va uning turg’unligini maksimum prinsipi yoki Furye metodi bilan tekshirish ma’lum qiyinchiliklar tug’diradi yoki umuman mumkin bo’lmaydi. Bunday holda energetik baholar metodidan foydalaniladi.
Yuqoridagidek, orqali u^h ning k- qatlamdagi qiymatini belgilaymiz, ya’ni Yana ushbu
(22)
belgilashni kiritamiz. Bunda biz quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

(23)
Endi vektorlar uchun fazoning to’rdagi skalyar ko’paytmasi va normasini kiritamiz:

Ravshanki, (14) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

Bu tenglamani (22) va (23) tengliklar asosida quyidagicha yozib olamiz:

Oxirgi tenglikning har ikkala tomonini
vektor bilan skalyar ko’paytiramiz. Natijada quyidagi hosil bo’ladi:

(24)
ushbu

qismiy yig’ish formulasida = , deb va , tengliklarni hisobga olib,

ni hosil qilamiz. Endi operatorning simmetrikligidan foydalanib,
tenglikka ega bo’lamiz. Oxirgi ikkita munosabatdan foydalanib, (24) ni quyidagicha yozib olamiz:
(25)
Bu tenglik fazoning to’rdagi normasi bo’yicha energetik ayniyat deyiladi.
E ndi ushbu
tengsizlikda a = ║ ║, b=║ deb olib, ( ) skalyar ko’paytma uchun quyidagi



tengsizlikni hosil qilamiz. Buning natijasida (25) dan quyidagi baho hosil bo’ladi:
(26)
Hozirgacha ixtiyoriy son edi, endi 0 deb olamiz. U holda σ ≥ 0,5 shart bajarilganda katta qavslar ichidagi ifoda manfiy bo’lmaydi. Shuning uchun ham (26) dan ushbu

(27)
baho kelib chiqadi.

Ko’rsatish mumkinki bo’lganda (27) baho o’rinli bo’lishi uchun

(28)
shart bajarilishi kerak. Endi (27) bahoni ketma-ket qo’llab,

bahoni hosil qilamiz. O’ng tomondagi yig’indi

integral uchun kvadratur yig’indi bo’lganligi sababli shunday C_i topiladiki,

tengsizlik bajariladi.

Bu yerda


Demak,

Bu tengsizlik esa (14), (8) sxemaning boshlang’ich ma’lumotlar hamdao’ng tomonga nisbatan turg’unligini bildiradi.

Shunday qilib, (14), (8) ayirmali sxema σ ≥ 0,5 bo’lganda shartsiz ravishda turg’un bo’lib, σ < 0,5 bo’lganda τ va h qadamlar orasida (28) shart bajarilgandagina turg’un bo’ladi.
Mashq. (28) shart isbotlansin. Ko’rsatma. ║ ║ ║² tengsizlikdan foydalanilsin.
Biz boshlang’ich shartlar va o’ng tomonga nisbatan turg’unlik masalasini ko’rib chiqib, chegaraviy shartga nisbatan turg’unlik masalasiga e’tibor bermadik. Agar μ₁ (t) va μ₂ (t) funksiyalar differentsiallanuvchi bo’lsa, u holda chegaraviy shartlarni nolga aylantirish mumkin. Haqiqatan ham, F(x,t) = μ₁(t)(1- ) + μ₂(x) funksiyani olsak, u holda ϑ(x,t) = u (x,t) – F(x,t) funksiya (1) tenglamaning o’ng tomoni (f(x,t) + F(x,t)) dan iborat bo’lib, nolli chegaraviy va boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini beradi.
Shunga o’xshash bir jinsli bo’lmagan (14), (8) ayirmali masalani bir jinsli chegaraviy shartli masalaga keltirish mumkin.
Faraz qilaylik, ayirmali masalaning yechimi bo’lsin. Quyidagi to’r funksiyasini kiritamiz:

Bu funksiya chegaraviy shartlari bir jinsli bo’lgan ushbu ayirmali masalani qanoatlantiradi:
bunda

Shunday qilib, tenglamaning o’ng tomonini biroz o’zgartirib, bir jinsli bo’lmagan (14) ayirmali masalani chegaraviy shartlari bir jinsli bo’lgan ayirmali masalaga keltirish mumkin.