1. Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsallari

TATU URGANCH FILIALI 921 21-GURUHI TALABASI NURMETOV XURSANDNING CHIZIQLI ALGEBRA FANIDAN MUSTAQIL ISHI



Mavzu: Chiziqli almashtirishlar ustidagi amallarga doir masalalar yechish.
Reja:
1.Chiziqli almashtirishlar.
2.Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsallari.
3.Chiziqli almashtirishlar ustidagi amallarga doir masalalar yechish.

Mavzu: Chiziqli almashtirishlar ustidagi amallarga doir masalalar yechish.
Ushbu mavzuda biz chiziqli fazoda aniqlangan akslantirishlar ichida muhim o‘rin egallaydigan chiziqli almashtirish tushunchasini kiritamiz.

1-ta’rif. n o‘lchamli V fazoda aniqlangan
akslantirish uchun
¹⁾ A(x₁  x₂ )  A(x₁ )  A(x₂ );
2) A(x)  A(x)
A :V V

shartlar bajarilsa, u holda A akslantirish chiziqli almashtirish deyiladi.

Odatda A chiziqli almashtirishning qiymati yoziladi.
A(x)
o‘rniga Ax

Misol 1. a) uch o‘lchamli Yevklid fazosida vektorni
koordinata boshidan o‘tadigan biror o‘q atrofida burishdan iborat bo‘lgan almashtirishni qaraymiz. Bunda xar bir x vektorga uni burishdan so‘ng hosil bo‘lgan Ax vektorni mos qo‘yamiz. Bu moslik
1) va 2) shartlarni qanoatlantirishini tekshirish qiyin emas.

Masalan, 1) shartni tekshirib ko‘raylik:
A(x₁  x₂ ) ^{ifoda avval} x₁

hamda
x₂ ^{vektorlarning qo‘shilishini, so‘ngra hosil bo‘lgan}

vektorning burilishini bildiradi.
Ax₁  Ax₂
esa avval
x₁ hamda x₂

vektorlarning burilishini, so‘ngra ularning qo‘shilishini bildiradi. O‘z- o‘zidan ravshanki, ikkala holda ham natija bir hil bo‘ladi. Demak, A akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.
b) Bizga Yevklid fazosi va uning koordinatalar boshidan

o‘tuvchi biror tekisligi bo‘lgan V₁
qism fazosi berilgan bo‘lsin.

Ixtiyoriy
x  vektorga uning bu tekislikdagi
x₁  Ax proeksiyasini

mos qilib qo‘yamiz. Bu moslik ham chiziqli almashtirish bo‘ladi.

с) [0,1] segmentda uzluksiz funksiyalardan iborat fazoni
t
qaraylik. Bu fazoda aniqlangan Af (t)  _0 f (s)ds akslantirish chiziqli
almashtirish bo‘ladi. Haqiqatdan ham,

t

t t
A( f₁ (t)  f₂ (t))  _0 [ f₁ (s)  f₂ (s)]ds 

t t
 _0 f₁ (s)ds  _0 f₂ (s)ds  Af₁ (t)  Af₂ (t),
A( f (t))  _0  f (s)ds   _0 f (s)ds  Af (t).
Endi chiziqli almashtirishlar ichida alohida ro‘l o‘ynovchi quyidagi 2 ta sodda almashtirishlarni keltiramiz. Ixtiyoriy vektorga shu vektorning o‘zini mos qo‘yuvchi E almashtirish, birlik almashtirish deyiladi, ya’ni
Ex  x.
Ixtiyoriy x vektorga nol vektorni mos qo‘yuvchi  almashtirish
nol almashtirish deyiladi, ya’ni
(x)  0.
n o‘lchamli V chiziqli fazoda A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lib, e₁, e₂ , ..., e_n chiziqli fazo bazisi bo‘lsin.